В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 267

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

x3                           x2 x2

x'

x3                           x2                      x2 Ci

^   a   л/x2 - Cdx         a   л/x2 - Ci

\J Ci      x        dt        \J C i x

x2 - Ci = a2(t + C2)2,    [Ci,C2}C R,a2 = J.

Ci m

 

 

51§4. Поняття про системи лінійних диференціальних рівнянь

У багатьох прикладних задачах треба визначити одночасно декілька функцій, які зв'язані між собою певними диферен­ціальними рівняннями. Сукупність таких рівнянь називається системою диференціальних рівнянь. Обмежимося вивчен­ням систем диференціальних рівнянь першого порядку в нор­мальній формі

(1)Розв'язком системи (1) називається сукупність функцій x = ip(t), y = ip(t), які задовольняють кожне з рівнянь системи на проміжку T.

Для нормальної системи диференціальних рівнянь пра­вильна теорема Коші про існування і єдиність розв'язку: якщо праві частини рівнянь системи (1), тобто функції f i g неперервні за сукупністю змінних в деякШ області Q i мають

^   df  df  dg dg в ній неперервт частинт похiднi —, —, —, —, то для до-

dx  dy  dx dy

вільної точки (to;xo;yo) є Q існує єдиний розв'язок системи x(t), y(t), який задовольняє початкові умови

 

x(to) = xo,   y(to) = yo-

 

4.1. Інтегрування системи диференціальних рів­нянь за допомогою зведення до одного рівняння другого порядку. Один із основних методів інтегрування системи диференціальних рівнянь полягає у зведенні цієї си­стеми до одного рівняння другого порядку. Проінтегрувавши одержане рівняння, знайдемо одну з невідомих функцій, а дру­гу функцію, по можливості без інтегрування, визначаємо з по­чаткових рівнянь і рівнянь, які одержуються з них диференці-

юванням.

 

 

519Приклад 1. Знайти розв'язок системи

dx

= -lx + y,

 

dt = -2x - 5y який задовольняє початкові умови

x(0) = 0,   y(0) = 1. (4)

А Дифєрєнціюючи перше рівняння системи по t, знаходимо

d?x 7 dx dy
dt2          dt dt

dy

Підставивши в цю рівність вираз з другого рівняння системи,

dt

дістанемо

d   x dx

It2 = -7dt - 2x - 5y-Замінивши функцію y її виразом з першого рівняння системи

dx

y = dt +7x (5)

одержимо лінійне однорідне рівняння другого порядку відносно неві­домої функції x(t):

d2x         dx             (dx \

—r = -7-       2x - 5 — + 7x ,

 

або 2

d2 x dx

dt2 + 12 dt + 37x = 0- (6) Складемо характеристичне рівняння, і, знайшовши його корені, запишемо фундаментальну систему розв'язків, а отже, й загальний розв'язок:

А2 + 12А + 37 = 0, Аі,2 = -6 ± л/36 - 37 = -6 ± і, x1(t) = e-6t cos t,   x2(t) = e-6t sin t,

x(t) = (C1 cos t + C2 sin t)e-6t. (7)

 

 

52Продиференціювавши (7), дістанемо

 

= e-6t(-C1 sint + C2 cos t) - 6e-6t(C1 cos t + C2 sint). dt

dx

Підставляючи вирази для x і dr; в рівність (5), і, зводячи подібні члени, отримуємо dt

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння