В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 270

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

 

 

4.3. Лінійні системи диференціальних рівнянь першого порядку. У багатьох прикладних задачах часто виникає необхідність розглядати системи двох лінійних дифе­ренціальних рівнянь першого порядку.

Розглянемо систему двох лінійних диференціальних рів-

нянь першого порядку вигляду

t Є T,


(12)де ац, ai2j й і a22 - сталі, а f (t) і g(t) - деякі відомі функ­ції. Розв'язати цю систему на проміжку T означає знайти дві

 

525функції x(t) і у (і), що задовольняють обидва рівняння на цьому проміжку.

У попередніх пунктах доведено, що систему (12) можна зве­сти до одного рівняння другого порядку. Нехай одна із заданих функцій f (і) чи g(t) (наприклад, f (і)) диференційовна на дея­кому проміжку T. Тоді функція x(t), що є розв'язком системи (12), як випливає з першого рівняння цієї системи, є двічі ди-ференційовною на T і

d2x(t)     a   <Ы£)_ + a   dy(t) + df (t)

 

 

Тепер із другого рівняння системи (12) підставимо значення

у рівність (13). Тоді отримаємо, що на проміжку T правильною є рівність

d2x(t)         dx(t)         ,      , .         . .      ...     df (t)

~dt^~ = aildf- + ai2(a2ix(t) + a22y(t) + g(t)) + -ij-L =

dx(t)                                                            df (t)

= aii-dt_ + ai2a2i x(t) + aua22 y(t) + ai2g(t) + ~~-Т~- (14)

Далі з першого рівняння системи (12) знайдемо вираз для ai2y(t) і підставимо його в (14). В результаті цього матимемо

d2x(t) dx(t) dt2   = aii—da- + ai2a2ix(t)+

+a22f ^ - aiix(t) - f (t)) + ai2g(t) + df (t)

dt dt

Остаточно отримаємо, що на проміжку T функція x(t) за­довольняє рівняння

d2x(t) dx(t)

(aii + a22)—7— + (aiia22 - ai2a2i)x(t) =

dt2    ii  22 dt

ai2g(t) - a22 f (t) + ^. (15)

 

 

526Це неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами, яке можна розв'язати методами по­переднього параграфа. Знайдений розв'язок рівняння (15) під­ставимо, наприклад, в перше рівняння системи (12), з якого знаходимо y(t) за умови, що ai2 = 0. Якщо ж ai2 = 0, але a22 = 0, то знаходимо y(t) із другого рівняння системи (12), як розв'язок диференціального рівняння 1-го порядку зі ста­лими коефіцієнтами. Отримана пара x(t) і y(t) є, очевидно, розв'язком системи (12).

Приклад 5 (модель міжвидової конкуренції). Одно­рідна система

dxdr = 2x(t) - у(і),

^ = -x(t) + 2y(t)

описує взаємовплив популяцій двох конкуруючих видів на швидкість їхнього росту. Знайти кількість x(t) i y(t) особин обох видів у довіль­ний момент часу t, якщо x(0) = 100, y(0) = 200 особин. Проаналізу­вати еволюцію кількості особин обох видів при зростанні часу t.

.                      .               .           d2x(t) ndx(t)

А Диференціюючи перше рівняння, дістаємо -т,= 2—     

dt2 dt

dy(t)                               . dy(t)

—-—. Оскільки з другого рівняння випливає, що —-— = -x(t) + dt dt

2y(t) = -x(t)+2(2x(t)- —, то x(t) задовольняє рівняння другого

dt

порядку

d2x(t)                                      dx(t)        , .

ї1 - 4г+3x(t) = 0.

Відповідне характеристичне рівняння А2 - + 3 = 0 має ко­рені Аі = 1, А2 = 3, а тому загальним розв'язком диференціального рівняння є функція

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння