В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 273

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Звідси випливає, що

 

712 = 711 + 72Ь     722 = 721.

Величини і 721 є довільними. Якщо позначити їх відповідно через Ci і C2, то дістанемо, що 712 = Ci + C2, 722 = C2. Тому загальний розв'язок системи має вигляд

x = (Ci + C2t)e3t,   y = (Ci + C2 + C2t)e3t.

 

 

4.3.2. Лінійні неоднорідні системи рівнянь із ста­лими коефіцієнтами. Розглянемо неоднорідну лінійну си­стему зі сталими коефіцієнтами (12). Як і у випадку неоднорід­ного лінійного рівняння другого порядку, доведено, що загаль­ний розв'язок неоднорідної системи (12) є сумою загального розв'язку відповідної однорідної системи (16) і будь-якого ча­стинного розв'язку неоднорідної системи (12).

Розглянемо деякі методи інтегрування неоднорідних ліній-

них систем.

4.3.2.1. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Ідея цього методу полягає в тому, що спочатку знаходять загальний розв'язок відповідної однорідної системи (16). Потім шукають загальний розв'язок неоднорідної системи (12) у такому самому вигляді як загальний розв'язок системи (16), але замість сталих Ci і C2 беруть деякі функції, які зна­ходять, підставивши цей розв'язок в неоднорідну систему.

Приклад 9. За допомогою методу варіації сталих розв'язати
систему


 

(20)53А Спочатку розв'яжемо відповідну однорідну систему dx

+2x + 4y = 0,

dt (21) ——+ x y = 0.

dt

dy dx

З другого рівняння системи (21) маємо x = y ——, а тому — =

dt dt

dy    d2y                                         . dx

—--- —г. Підставимо ці вирази для x і у перше рівняння системи

dt    dt2 dt

(21)  : г

d2 y dy

di + it 6y = 0. (22)

Оскільки характеристичне рівняння A2 + A 6 = 0 для рівняння

(22)      має різні корені Ai = —3 і A2 =2, то загальним розв'язок цього
рівняння є
y = C1e-3t + C2 e2t.

Тоді x = y = C1 e-3t + C2e2t + 3C1e-3t 2C2e2t = 4C1e-3t dt

2t

Отже, загальний розв'язок однорідної системи (21){


x = C1e-3t + C2e2t, y = 4C1e-3t C2e2t.Розв'язок неоднорідної системи (20) шукатимемо у вигляді x = Ci(t)e-3t + C2(t)e2t,

\y = 4Ci(t)e-3t Cr(t)e2t. (23)Г 4C1

Підставивши (23) в (20) і звівши подібні члени, дістанемо 1 (t)e-3t C2 (t)e2t = 1 + 4t,

(t)e-3t + C2 (t)e2t = 212,
Ci(t)=<3^ \0 + 2) e3t.C2W=(6'2 f 1) e-2t,

5

Якщо проінтегрувати, то одержимо

Ci(t) = -10(2t + t2)e3t + C1,

C2(t) = -(t + 3t2)e-2t + C2, 5


 

 

 

 

(24)533де С і і С 2 - довільні сталі.

Підставивши (24) у (23), отримаємо загальний розв'язок системи
(20)                   _ _

( x = 4С ie-3t - С2e2t + t +12,

\y = Cie-3t + C2e2t -          і2 R.

4.3.2.2. Метод невизначених коефіцієнтів. Цей метод застосовується при розв'язуванні неоднорідної системи (12), коли функції f i g мають спецiальний вигляд: многочлени Pm(t), показниковi функції eat, синуси i косинуси sin /t, cos et i добутки цих функцій. У залежноста від вигляду f та g i зна­ходять частинний розв'язок неоднорідної системи, аналогічно як у випадку одного рівняння.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння