В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 28
a(x)
a(x) = t, a(x) — 0, при x — x0, тому t — ax — 1
lim ——+— = 1, то ln(1 + a(x)) ~ a(x), коли a(x) — 0 при ^ xo.
Приклад 3. Знайти lim
x—0 x
А Тут ми маємо невизначеність типу 0. Для знаходження границі зробимо заміну змінної, поклавши ax — 1 = t. Тоді x = loga(1 +1). Зауваживши, що при x — 0 також i t — 0, знаходимо
lim = lim - =
x—0 x t—0 loga(1+1)
= 1 = 1 = 1 =1
—0
loga(1+t)
lim log„(1+t)
loga e a'
t t—0
t
Отже,
ax
— 1
lim------ =
ln a.
x—0 x
Звідси, зокрема, випливає, що
ex
— 1
lim------- = 1. ►
x—o x
ax — 1
Очевидно, що з рівності lim = ln a випливає рівність
x—o x
a 1
lim —---- = 1, тобто ax — 1 ~ x ln a при x — 0.
x—o x ln a Зокрема,
ex — 1 ~ x при x — 0.
6Ці еквівалентності можна узагальнити, а саме: аа(х) _ і ^ а(х) in а а(х) — о, якщо x — x0,
ea(x) _ і a(x) при a(x) — 0, якщо x — x0. Приклад 4. Нехай u(x) — 1, а v(x) — оо при x — xo. Довести, що коли існує lim v(x)(u(x) _ 1), то
x—>Xq
, ч lim v(x)(u(x) — \)
lim u(x)v(x) = ex^x° . (3)
x—xo
А Маємо невизначеність 1°°. Для її розкриття зробимо очевидні перетворення, скориставшись при цьому неперервністю функцій:
lim u(x)v(x) = lim ((1 + (u(x) _ 1)) u£=i )v(x)(u(x)—1) =
X—Xo x—Xo
і lim v(x)(u(x) — 1)
= ( lim (1 + (u(x) _ 1)))x^x0 .
x—xo
Оскільки u(x) — 1 при x — xo, то z(x) = u(x) _ 1 — 0 при x — xo, а тому
lim (1 + (u(x) _ 1))= lim(l + z)z = e.
x—x0 z—0
Тоді
/ ч lim v(x)(u(x) — 1)
lim u(x)v(x) = ex—X0 . ►
X—>XQ
Застосуємо формулу (3) для знаходження конкретної границі.
Приклад 5. Знайти lim(l + x2)ctg x.
x—0
А Оскільки маємо невизначеність типу 1°°, то скористаємось формулою (3):
.. , 2\ctg2 x lim ctg2 x(1+x2 —1)
lim(l+ xz)ctg x = ex—0 =
x—0
2
lim x2 cos2 x lim^^^)2-lim cos2 x і 1