В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 29

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

=       o    sm2 x                                  = ex—o eln x    x—o   = e1    = e.

У пункті 1.5 §1 було введено поняття оберненої функції і до­ведено, що строго монотонна на деякому проміжку X функція має обернену, яка визначена на проміжку Y - множині значень прямої функції, і є також монотонною. Відповідь на питання, коли ж обернена функція є неперервною дає така теорема.Теорема 4. Якщо функція у = f (х) неперервна і стро­го монотонна на проміжку X і Y - множина значень даної функції, то на множині Y існує обернена функція х = f ~1(у), яка є також строго монотонною і неперервною.

3.3. Класифікація точок розриву функції. Якщо в точці хо не виконується принаймні одна з умов 1) - 3) в означен­ні неперервності функц11, то хо називається точкою розриву функції f. При цьому розрізняють три типи точок розриву.

1)  Усувний розрив. Якщо  lim f (х) існує, але функція

не визначена в точці хо або  lim f (х) = f (хо), то точка хо

називається точкою усувного розриву функції. Приклад 6. Дослідити на неперервність функцію

f(х) = I ^,    якщо х = 0,
п '     \ 2,             якщо   х = 0.

Якщо х = 0, то f є неперервною функцією, як частка непере­рвних функцій. Тому треба дослідити функцію на неперервність в

sin х

точці х = 0. Маємо lim---         = 1 = 2 = f (0), а це означає, що точка

x—0 х

х = 0 є точкою усувного розриву.

Даний розрив можна усунути, якщо підправити нашу функцію, тобто взяти

f(х) = і ^,    якщо   х = 0, + Jy '     \ 1,        якщо   х = 0.

2)  Розрив 1-го роду. Границя lim f(х) не існує. Якщо

x—xo

при цьому існують обидві скінченні однобічні границі f (хо + 0) і f (хо0) (очевидно не рівні між собою), то хо називається точкою розриву 1-го роду.

Приклад 7. Дослідити на неперервність функцію

{

—1, якщо х < 0, 0, якщо х = 0, 1,    якщо   х > 0.

А Якщо х = 0, то функція неперервна. Тому треба дослідити її в точці х = 0.

 

6lim  f{x)=   lim (-1) = -1;

x >00  x >00

lim   f (x) =   lim  1 = 1.

x—0+0       x—0+0

Оскільки ці однобічні границі різні, то точка x = 0 є точкою розриву першого роду.

Очевидно, що f (0 + 0) f (0 0) = 1 ( 1) = 2. У цьому випадку кажуть, що функція має в даній точці стрибок, який дорівнює 2. ►

3) Розрив 2-го роду. Точка xo називається точкою ро­зриву 2-го роду, якщо в цій точці функція f не має хоча б однієї з одно6ічних границь або принаймні одна з цих границь дорівнює нескінченності.

Приклад 8. Дослідити функцію f (x) = 2—x на неперервність і визначити характер точки розриву.

< Задана функція визначена на множині X = R\{0} і неперервна як суперпозиція неперервних функцій. У точці x0 = 0 функція f не визначена і f (0 0) =   lim  2— x = +оо, f (0 + 0)=   lim  2—X = 0.

x— 0—0                             x— 0+0

Отже, точка x0 є точкою розриву другого роду.

Функція f називається кусково-неперервною на [a; b], якщо вона неперервна в усіх внутрішніх точках цього відрізка, за винятком, можливо, скінченного числа точок, у яких має розриви 1-го роду, і, крім того, має однобічні границі у точках a і b.

Функція f називається кусково-неперервною на R, якщо вона кусково-неперервна на довільному відрізку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

652 і—-

1 :—w

 

-2-10123 x

: ;—* -1

j* -2 ^ -3

Прикладом кусково-непе­рервної на R функції є f (x) = [x]. Ця функція в точках x = n, n Є Z непе­рервна справа і розривна зліва, а в усіх інших точ­ках числової осі неперерв­на.3.4. Застосування функцій в прикладних зада­чах. Наведемо декілька прикладів простих явищ і процесів, які описуються неперервними або розривними функціями.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння