В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 30

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Відзначимо, що слух, зір, сприйняття ультразвуків, що при­таманні багатьом біологічним видам, - це явища, пов'язані з коливними процесами, які описуються за допомогою тригоно­метричних функцій sin x та cos x.

У конкретних процесах такі величини, як біомаса популя­ції, чисельність популяції (кількість особин в популяції), тем­пература, час і т.п. характеризуються дискретними величина­ми. Це означає, що область визначення і множина значень цих функцій не є проміжками, а деякими дискретними множинами або шкалами, можливо з дуже дрібними поділками. Зрозумі­ло, що, маючи справу з такими функціями, не можна говорити про їхню неперервність. Щоб мати можливість користувати­ся апаратом математичного аналізу там, де це зручно, функ­ції, що визначені на шкалі, замінюються їхніми неперервними аналогами. Зрозуміло, це не завжди доцільно. Наприклад, як­що область визначення функції складається з двох елементів, то, напевно, не варто заміняти її проміжком. Але, якщо об­ласті визначення та значень функції складаються із скінчен­ного, але достатньо великого числа елементів, у деякому розу­мінні близько розміщених один від одного (як дрібні поділки на

 

66шкалі), то можна замінити їх суцільним проміжком і функцію вважати неперервною. Дослідивши цю модельну функцію, ми потім зуміємо зробити висновки і відносно функції, яка опи­сує певний процес (явище). Ця ідея лежить в основі побудови математичних моделей з використанням неперервних функцій.

Розглянемо ряд прикладів використання неперервних функцій в біології. Зокрема, при вивченні зростання чисельно­сті мікроорганізмів при поділі кліток використовується непе­рервна функція f (t) = aekt, де аргумент t - це час. За допо­могою ж степеневої функції f (x) = axa описується залежність інтенсивності основного обміну від ваги тварини, де x - вага тварини, f (x) - кількість кисню, що поглинає тварина за оди­ницю часу, a і а - параметри, сталі для даного класу тварин. Для птахів, наприклад, а = 0, 74, a = 70, а для риб - а = 0, 8 і a = 0, 3.

Розглянемо приклади розривних функцій. Нехай є клітини, які реагу- e ють на зовнішні подразнення, напри­клад, нервові клітини, клітини м'язів і т.п. Якщо величину подразнень E ви­мірювати у певних одиницях, то гра­фік подразнення E = E(t) має вигляд, O to ti t який зображено на рисунку.

У момент to клітина отримує сигнал, але реакція на по­дразнення відбувається у деякий момент часу ti > to. Відрізок [to, ti] називається латентним періодом. У момент часу ti клітина миттєво подразнюється до максимальної величини, а потім подразнення поступово зменшується до тих пір, поки не надійде наступне подразнення. Якщо наступного подразнення не буде достатньо довго, то E(t) = 0. Отже, функція, що ха­рактеризує залежність величини подразнення від часу, має ро­зриви на кінцях латентних періодів.

Розглянемо ще приклад зміни біомаси мікроорганізмів, які чуттєві до температурних коливань. При збільшенні темпе­ратури загальна біомаса m, як правило, збільшується (тепло сприяє розмноженню), але, коли температура надто висока, то

 

67практично вся колонія гине. Значення т при цьому стрибко­подібно переходить в нуль. Аналогічну ситуацію маємо і при зниженні температури, як тільки вона досягає деякої нижньої межі, мікроорганізми гинуть. В реальних умовах температура змінюється в залежності від часу, то підвищуючись, то знижу­ючись. Тому графіком зміни біомаси в залежності від зміни часу буде розривна лінія, яка має такий вигляд:

т
O   to        ti        І2 Із


 

 

 

tТочки розриву ti, І2, Із відповідають тим моментам часу, коли температура стала і або дуже висока, або дуже низька.

Таких прикладів використання неперервних і розривних функцій можна навести в багатьох галузях природознавства.

3.5. Властивості функцій, неперервних на відріз­ку.

Теорема 5 (проходження неперервної функції через нуль). Нехай функція f неперервна на відрізку [a; b] i на кінцях відрізка набуває значень різних знаків. Тоді існує точка c Є (а; Ъ), у якій f (c) = 0.

Геометричний зміст теореми такий: якщо точки графіка неперервної функції y = f (x), що відповідають кінцям відрізка [а; Ъ], лежать по різні боки від осі Ox, то цей графік принаймні в одній точці даного відрізка перетинає вісь Ox.

Наслщок 1 (проходження неперервної функції через довільне проміжнє значення). Якщо функція f неперервна

 

6на відрізку [a; b], f (a) = A, f (b) = В, А = В і С - довільне число, яке міститься між числами А і В, то на інтервалі (a; b) знайдеться принаймні одна точка с, для якої f (с) = С.

Цей наслідок можна сформулювати й так: неперервна на відрізку [a; b] функція набуває усіх проміжних значень між її значеннями на кінцях відрізка, тобто, неперервна на [a; b] функція, переходячи від одного значення до другого обов'язково проходить через усі проміжні значення.

Зауваження 1. Якщо функція на відрізку має принаймні

одну точку розриву, то твердження теореми 5 і наслідку 1 пере-

стають бути правильними. Наприклад, функція y = X додатна при x = 1 і від'ємна при x = 1, але на відрізку [—1; 1] немає точки, у якій вона перетворюється в нуль. Це пов'язано з тим, що на відрізку [—1; 1] є точка розриву x = 0 цієї функції.
Теорема 6 (досягнення функцією, неперервною на відрізку, своїх найбільшого та найменшого значень).

Якщо функція f неперервна на відрізку [a; b], то вона дося­гає на цьому відрізку своїх як найбільшого, так і найменшого

значень.Теорема стверджує, що на відрізку [a; b] знайдеться точка Хі, значення f в якій буде найбільшим з усіх значень функції на цьому відрізку: f (x) < f (xi), x є [a; b]. Аналогічно, на відрізку знайдеться така точка x2, що f (x) > f (x2), x Є [a; b].

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння