В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 34

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

... + (Ax)"-1 і   lim ^  =   lim (nx"-1 + "Щ-11 x"-2Ax + ... +

V      '        Ax—0 Ax    Ax—0K 2

(Ax)"-1) = nx"-1. Отже,

(xn)' = nxn-1, x Є К. ► 1.1.2. Геометричний зміст похідної. Нехай функція y = f (x) визначена на інтервалі (a; b) і нехай точка M на гра­фіку цієї функції відповідає значенню аргументу xo, а точка P - значенню xo + Ax. Проведемо через точки M і P пряму, яку назвемо січною. Позначимо через tp(Ax) кут між січною і віссю Ox (рис. 1). Очевидно, що цей кут залежить від Ax. Як­що існує lim tp(Ax) = po, то пряму з кутовим коефіцієнтом Ax—0

k = tg po, що проходить через точку M(xo; f (xo)), називатиме­мо граничним положенням січної MP при Ax 0, або, що те саме, при прямуванні точки P до точки M вздовж графіка. Дотичною до графіка функції y = f (x), x Є (a; b), у точ-

 

7ці М(жо; /о)) назвемо граничне положення січної MP при Аж 0, або, що те саме, при P М.

З цього означення випливає, що для існування дотичної до­сить, щоб існувала границя   lim рж) = ро, яка дорівнює

Аж—0


куту нахилу дотичної до осі Ож.

Доведемо, що коли функція / має в точці жо похідну, то існує дотична до графіка функції y = /(ж) в точці М(жо; /(жо)), причому кутовий коефіцієнт цієї дотичної, тобто тангенс кута нахилу її до осі Ож, дорівнює похідній /'(жо).

З трикутника MNP знаходимо, що

 

tg рж) = mn = Аж =              Аж            (2)

Ау

Оскільки   існує   похідна,   то   існує   границя    lim —— =

Аж—о Аж

/(жо + Аж) - /(жо)       '( )

lim                 т                 = / (жо). При Аж —> 0 січна пере-

Аж—о          Аж                   J v о;

ходить у дотичну, а тому, скориставшись неперервністю тан­генса в його області визначення, отримаємо   lim tg рж) =

Аж—о

tg( lim рж)) = tgро.

Аж—о

Перейшовши до границі при Аж 0 в обох частинах рів­ності (2), одержимо

tg Ро = /'(жо),

що й треба було довести. Отже, похідна функції у = /(ж) в точці жо дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка

 

75функції у = / (ж) у точці М о; / о)). Якщо скористатися рів­нянням прямої, що проходить через задану точку у заданому напрямку, то рівняння дотичної до графіка функції у = /(ж) в точці М(жо; /(жо)) матиме вигляд

 

у - /о) = /'(жо)(ж - жо).

Пряма, що проходить через точку М(жо; /(жо)) перпенди­кулярно до дотичної в цій точці, називається нормаллю до графіка функції. Нормаль має рівняння

у - /о) = /і^(ж -жо)'

якщо /'(жо) = 0.

1.1.3.  Фізичний зміст похідної. Припустимо, що функ­ція у = /(ж) описує закон руху матеріальної точки М вздовж прямої, тобто у = /(ж) - шлях, пройдений точкою М від почат­ку відліку за час ж. Тоді за час жо пройдено шлях уо = /о), а за час жо + Аж - шлях уі = /о + Аж). За проміжок часу Аж точка М пройде шлях довжиною Ау = /(жо + Аж) - /(жо).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння