В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 35

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Ау

Відношення —— називається середньою швидкістю за час Аж

Аж, а lim —— = /'(жо) визначає миттєву швидкість точки

Аж—о Аж

в момент часу жо.

Поняття швидкості, запозичене з фізики, зручне при до­слідженні поведінки довільної функції. Яку б залежність не відображала функція у = /(ж), відношення Аж є середньою швидкістю зміни у відносно зміни ж, а /'(жо) - миттєвою швид­кістю зміни у при ж = жо.

Важливість похідної полягає в тому, що при вивченні до­вільних процесів і явищ природи за її допомогою можна оціни­ти швидкість зміни зв'язаних між собою величин.

1.1.4.  Економічний зміст похідної. Нехай функція у = /(ж) виражає кількість виробленої продукції на момент часу ж і треба знайти продуктивність праці в момент часу жо. Очевид­но, що за період часу від жо до жо + Аж кількість виробленої

 

76продукції зміниться на величину Ау = /(жо + Аж) /(жо). То­ді середня продуктивність праці за цей період часу дорівнює

Ау П                    .                    . й

——. Продуктивність же праці в момент часу жо можна знайти Аж

як граничне значення середньої продуктивності при Аж 0, тобто

Ау

lim -= у'(жо).

Ax—о Аж   К J

1.1.5. Права й ліва похідні. Використовуючи праві й ліві границі функції, введемо поняття правої і лівої похідної функ­ції у = /(ж) в точці жо.

Правою (лівою) похідною функції у = /(ж) в точці

жо називається права (ліва) границя відношення Ax при Аж 0 за умови, що ця границя існує. Праву похідну позначають символом /'(жо + 0), а ліву - /'(жо 0). Отже,

А/ А/

/'(жо + 0)=    lim        ,    /'(жо 0) = lim J к        '    Ax—о+о Аж       v        '    Ax—о-о Аж

Якщо функція / має в точці жо похідну, то вона має в цій точці і праву і ліву похідні, які однакові.

Обернене твердження таке: якщо функція у = /(ж) має в точці жо праву і ліву похідні, які однакові, то функція у = /(ж) має в точці жо похідну.

Існують функції, які мають в точці жо ліву і праву похідні, але не мають похідної в цій точці. Наприклад, функція

„, ч     і,     Г —ж,   якщо ж < 0,
/(ж) = \ж\ = <                   ^ .

У ж,     якщо ж > 0

 

має в точці жо = 0 праву похідну, яка дорівнює

п,       л       -       / (0 + Аж) / (0) Аж

/ '(0 + 0) =    lim   ^------ т-1-- =    lim   — = 1

Ax—о+о        Аж                Ax—о+о Аж

і ліву похідну, яка дорівнює

/'(0 0)=   lim   / (0 + Аж) / (0) =   lim   ААж = —1.

Ax—о-о         Аж                Ax—о-о Аж

 

 

77Оскільки /'(0 + 0) = f '(0 — 0), то ця функція не має похідної в точці Хо = 0. Геометрично це означає відсутність дотичної до графіка функції в точці (хо; f (хо)) = (0; 0).

т

х

 

1.2. Диференційовність функції. Диференціал.

1.2.1. Диференційовність функції в точці. Нехай функція у = f (х) визначена на проміжку X, символом Хо позначимо деяке фіксоване значення аргументу із вказано­го проміжку, а символом Ах - приріст аргументу такий, що х0 + Ах є X.

Функція / називається диференційовною у точці хо, як­що приріст Ау цієї функції в точці хо, який відповідає приросту аргументу Ах, можна зобразити у вигляді

 

Ау = ААх + ахх, (3)

де А - деяке число, незалежне від Ах, а а х) - нескінченно мала функція при Ах 0.

Оскільки ахх = ох), то формулу (3) можна запи­сати у вигляді

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння