В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 36

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

 

Ау = ААх + ох),   Ах 0. (4)

Теорема 1. Для того щоб функція / була диференційовна в точщ хо, необхiдно i досить, щоб вона мала у цш точщ стнченну похідну.

Л Необхідність. Нехай функція / диференційовна в точці хо, тобто має місце рівність (3). Припустивши, що Ах = 0, після ділення (3) на Ах, дістанемо

Ау = А + ах). (5)

 

7Якщо перейти в (5) до границі при Аж  0, то матимемо

Ау

lim —- = A,

Ах—0 Аж

тобто f'(хо) існує й дорівнює A.

Достатність. Нехай функція f має в даній точці хо скін­ченну похідну, тобто існує границя

lim Ау = f'(х0),

Ах—0 Ах      J У ' а це означає, що функція

 

"(Ах) = АХ - f'(хо)

є нескінченно малою при Ах 0. Отже,

Ау = /'(х0х + ахх, (6)

де  lim ах) = 0. Формула (6) збігається з (3), якщо позна-Ах—0

чити через A не залежне від Ах число f '(х0).

Теорема 1 дозволяє надалі ототожнювати поняття диферен-ційовності функції в точці з поняттям існування похідної в ній. Тому операцію знаходження похідної називають диференці­юванням.

1.2.2. Зв'язок між поняттями диференційовності та неперервності функції.

Теорема 2. Якщо функція f диференційовна в точці х0, то вона неперервна в цій точці.

< Згідно з означенням диференційовності функції f в точці х0 її приріст у цій точці можна подати у вигляді (3). Перей­шовши до границі при Ах 0, дістанемо

lim Ау = A lim Ах + lim ах) lim Ах = 0,
Ах—0            Ах—0        Ах—0 Ах—0

а це означає, що функція f неперервна в точці х0.

Твердження, обернене до теореми 2, неправильне, бо існу­ють функції, які неперервні в точці, але недиференційовні в цій

 

79точці. Наприклад, функція у = \х\ неперервна в точці х0 = 0, але не диференційовна в цій точці. існують функції, які непере­рвні на деякій множині, але не мають похідної в жодній точці цієї множини.

1.2.3. Поняття диференціала функції. Нехай функція f диференційовна в точці х0, тобто виконується рівність (3). Аналізуючи її, бачимо, що приріст Ау є сумою двох доданків, де перший з цих доданків AАх при A = 0 є лінійною функ­цією від Ах, яка нескінченно мала при Ах — 0 того самого прядку, що й Ах, а другий доданок а(Ах)Ах при Ах — 0 є нескінченно малою функцією вищого порядку, ніж Ах, оскіль-

"(Ах)Ах

ки --- а-----         = "(Ах) — 0 при Ах — 0. Отже, при Ах — 0

перший доданок AАх є головною частиною приросту дифе-ренційовної функції. Цю головну частину приросту називають диференціалом функції у точці х0, що відповідає приросту аргументу Ах. Позначають диференціал символом dy. Отже,

dy = A Ах. (7)

Якщо A = 0, то доданок AАх перестає бути головною ча­стиною приросту Ау, бо він дорівнює нулю, тоді як а(Ах)Ах = 0. Прийнято вважати, що й в цьому випадку диференціал визначається формулою (7), тобто dy = 0.

Оскільки A = f'(х0), то формулу (7) можна записати у вигляді

dy = f' ЫАх. (8)

Очевидно, що dy, взагалі кажучи, не дорівнює приросту функ­ції Ау.

Введемо поняття диференціала незалежної змінної х. Під диференціалом незалежної змінної х розумітимемо до­вільне незалежне від х число. Домовимося за число брати приріст Ах незалежної змінної х. Ця домовленість оправда­на тим, що коли розглядати незалежну змінну х як функцію вигляду у = х, то для неї dy = = 1 Ах. Звідси випливає, що формулу (8) можна переписати у вигляді

dy = f'(хо)dх. (9)

 

8Оскільки при малих Аж

Ay w dy, (10)

то диференціал зручно використовувати для наближених об­числень. Для цього рівність (10) записують у вигляді

f (жо + Аж) - f (жо) w f'(xo)Ax

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння