В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 4

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Наприклад, функції у = х3, х Є R, і у = sin х, х Є R, непарні, оскільки (—х)3 = —х3, sin(—х) = sinх, х Є R.

Графік непарної функції розміщується симетрично від­носно початку координат, оскільки разом з точкою (х; f (х)) він містить і точку (—х; —f (х)).

 

 

—х г

у

f (х) х

 

f (—х)


у


f (х)Треба мати на увазі, що не всяка функція є парною або непарною. Наприклад, кожна з функцій у = х2 х + 1, х Є R; у = х + cos х, х Є R; у = 2x, х Є R, не є ні парною, ні непарною.


Функція у = f (х), х Є X, називається періодичною, якщо існує таке число T = 0, що f± T) = f (х), {х, х ± T} С X.

При цьому найменше з додатних чисел T (якщо воно іс­нує), які задовольняють умову f (х ± T) = f (х), називається періодом функції у = f (х), х Є X тригонометрії відомо, що функції у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х є періодичними. Для перших двох із них період дорівнює 2"7Г, а дві останні ма­ють період ж. При дослідженні періодичної функції з періодом T і побудови її графіка досить знати значення цієї функції на будь-якому відрізку довжини T, наприклад, на [0; T].

 

13Періодичними функціями є не лише тригонометричні функ­ції. Наприклад, функція Діріхле є періодичною, оскільки для довільного числа r Є Q маємо х(х + r) = х(х), х Є R. Слід зазначити, що ця функція періоду не має.

1.4. Монотонні функції. Функція f називається зрос­таючою (спадною) на множині X, якщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає більше (менше) значення функції.

Нехай [х\,Х2] С X і Х2 > х\. Тоді функція зростає на множині X, якщо f2) > f (xi) і спадає, якщо f 2) < f (х\) (рис. 5).

Якщо функція f є тільки зростаючою або тільки спадною на множині X, то вона називається монотонною на цій мно­жині або строго монотонною.

у = f (х)

f (х)

У

 

 

f і)

fі)

1

х

f2)

a хі х2

b

хі х2 b

a

_ ^ х

0

б)

а)

Рис. 5

З рисунків 5 а) і 5 б) безпосередньо видно, що кожна пряма, яка паралельна осі Ох, перетинає графік монотонної функції в одній точці, тобто кожному значенню у Є Y відповідає єдине значення х Є X таке, що у = f (х).
у


х3


у


у


х
х1Наприклад, функція у = ж3, х Є К, монотонна на R; функ­ція у = ж2, х Є К, - кусково-монотонна: на {—оо, 0) вона спадає, а на {0; +оо) - зростає.

У випадку, коли для {х\,Х2} С X і Х2 > х\ виконується нерівність f (х2) > f (х1) (f (х2) < f (х1)), то функція f нази­вається неопадною (незростаючою) на множині X.

1.5. Поняття оберненої функції. Розглянемо функ­цію у = х3, х Є [1;2]. Ця функція здійснює відображення відрізка [—1; 2] на відрізок [—1; 8] - множину значень цієї функ­ції.

Розглянемо рівність у = х3 як рівняння відносно х. Це рів­няння для кожного значення у Є [—1; 8] визначає єдине значен­ня х Є [—1; 2] за формулою х = ^/у. Геометрично це означає, що всяка пряма, яка проходить через точку відрізка [1;8], пара­лельно осі Ох, перетинає графік функції у = х3 тільки в одній точці. Іншими словами, кожному значенню у Є [—1; 8] ставить­ся у відповідність єдине значення х Є [—1; 2]. Це означає, що на відрізку [—1; 8] задана функція х = ^/у, яка відображає цей відрізок на відрізок [1;2]. Функція х = ^/у називається обер­неною до функції у = х3.

Перейдемо тепер до загального випадку. Розглянемо функ­цію у = f (х) з областю визначення X і множиною значень Y. Нехай ця функція така, що пряма, яка проходить через довіль-ну точку множини Y, паралельно осі Ох, перетинає її графік тільки в одній точці, тобто рівняння y = f (х) для кожного y Є Y визначає єдине значення х Є X.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння