В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 44

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

3)  Знайдемо n-ну похідну функції y = sin х, х є R. По­слідовно диференціюючи, отримуємо y' = cos х = sin^ + 2),

 

93y(2) = sinх = sin(x + 2п), y(3) = cosх = sin^ + 3n),...,y(n) = sin^ + nn), Отже,

(sinх)(п) = sin^ + n-2),   х є R.

4)  Аналогічно можна одержати формулу для n-ої похідної функції y = cos х:

(cosх)(п) = «^(х + n-2),х є R.

5)  Для функції y = ln х, х > 0, похідна n-го порядку так само легко знаходиться.

Послідовне диференціювання цієї функції дає

у' = -, у'' = -2, у(3) = 4,

2

tXj               tXj tXj

(4)       2 3       3!          (n)    (1)n-1(n 1)!

У(4) =----- т~ =--- j ,У    = ~                          > 0.

4            4 n

Отже,

= (—1)n-4n 1)!   х> 0.

У випадку функції y = ln(1 + х), х > —1, маємо (ln(1+ х))(п) = (1)n-1 (n — \)!,   х> 1.

v    v       ))        \      )        (1+ х)п'

1.8.3. Формула Лейбніца для n-ої похідної добутку двох функцій. Виведемо формулу для знаходження похідної n-го порядку добутку двох функцій п(х)ь(х), що мають похідні довільного порядку. Тоді

у' (х) = и'(х)г>(х) + п(х)у'(х),

y(2) = и(2)(х)-и(х) + 2и'(х)ь'(х) + и(х)-и(2)(х), y(3) = и(3)(х)^(х)+и(2)(х)^'(х)+2и(2)(х)^'(х)++2и(2)(х)^(2)(х)+ +и'(х>(2)(х) + и(х>(3)(х) = и(3)(х>(х) + 3и(2)(х)у'(х) +

 

9+3u'(x)v(2)(x) + u(x)v(3)(x).

Праві частини одержаних рівностей подібні на розклад різ­них степенів бінома (и + v)n за формулою Ньютона, але за­мість показників степеня маємо числа, які визначають поря­док похідних, а самі функції и і v можна розглядати як похідні нульового порядку и(0)(х) і v(0)(x). Враховуючи це, запишемо загальний вигляд n-ої похідної добутку двох функцій:

У(п)(х) = (u(x)v(x))(n) = u(n)(x)v(x) + nu(n-1)(x)v'(x)+ +n(n211 u(n-2) (x)v(2)(x) + ...+

+n(n 1)-(n k + 1) u(n-k)(x)v(k)(x) + ... + u(x)v(n)(x) або

n

(u(x)v(x))(n) =     Cnu(n-fc)(x)v(fc)(x). (19)

Формулу (19) називають формулою Лейбніца. Строге до­ведення даної формули проводиться методом математичної ін­дукції.

Приклад 11. Знайти п'яту похідну функції y = x5ex.

А Нехай u(x) = х5, v(x) = ex, тоді и'(х) = 5х4, и(2)(х) = 20х3; и(3)(х) = 60х2, и(4)(х) = 120х; и(5)(х) = 120; v'(x) = v(2)(х) = v(3)(x) = v(4)(x) = v(5) (x) = ex. Пiдставляючи ці вирази у формулу (19) при n = 5, дотаємо

5 4

y(5) = 120ex + 5 120xex + —60x2ex+ + 5 ' 2 ' 3 20x3ex + 5 5x4ex + x5ex =

1 2 3

= ex(120 + 600x2 + 200x3 + 25x4 + x5).

1.8.4. Диференціали вищих порядків. Для зручності поряд з позначеннями диференціалів символами dy і dx вико­ристовують позначення 5y і 5х.

 

 

95Нехай функція y = f (х) диференційовна у кожній точці х Є X. Тоді її диференціал

 

dy = f' (x)dx,

який назвемо диференціалом першого порядку, є функцією змінних х і dx. Нехай функція f'(x) у свою чергу диферен­ційовна у деякій точці х. Розглядатимемо dx у виразі для dy як сталий множник. Тоді S(dy) = 5(f'(x)dx) = (f'(x)dx)'5x = f"(x)dx5x.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння