В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 45

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Диференціал 5(dy) від диференціала dy в точці х, взятий при = dx, називається диференціалом другого порядку

функції f у точці х і позначається символом d2y, тобто

d2y = f ''(x)(dx)2.

У свою чергу диференціал 5(d2y) від диференціала d2y, взя­тий при = dx, називається диференціалом третього по­рядку функції f і позначається символом d3y, і т.д.

dny = y(n)(x)(dx)n

 

або

dny = f(n) (x)(dx)n,n Є N. (20)

Приклад 12. Знайти диференціал d?y функції y = х4 3х2 +4. А Знайдемо спочатку третю похідну. Маємо у' = 4х3 6х, у'' = 12х2 6, y(3) = 24х. Тоді згідно з формулою (20)

d3y = y(3)(x)(dx)3 = 24x(dx)3.

 

1.9. Похідна функції, яка задана параметрич­но. До цих пір розглядались рівняння ліній на площині, які зв'зують між собою координати точок цих ліній. Часто засто­совують інший спосіб задання лінії, де змінні координати х і y є функціями третьої змінної t,

 

х = p(t),    у = V(t),    t Є T. (21)

 

96Тоді довільному з цих значень t Є T відповідає певне значен­ня х і певне значення y, а отже, і певна точка M(х; у) заданої лінії. Якщо змінна t пробігає всі значення з області визначення T функцій р і ф, точка M(х; у) описує деяку лінію в площині Oxy. Рівняння (21) називається параметричними рівняння­ми цієї лінії, а змінна t - параметром.

Припустимо, що функція х = p(t), t Є T, має обернену t = р-1(х), х Є X, де X - множина значень функції р. Під­ставивши цей вираз для t у друге з рівнянь (21), дістанемо рівняння

y = ф(р"1(х)),   х Є X, (22)

яке визначає y як складену функцію х. Кажуть, що ця функ­ція задана параметрично рівняннями (21). Перехід від (21) до рівняння (22) називається виключенням параметра.

При вивченні функцій, які задані параметрично, виключен­ня параметра не є обов'язковим, а інколи й не завжди практич­но можливе. У багатьох випадках значно легше, задаючи різні значення параметра t, визначити за формулами (21) відповідне значення аргументу х і функції y.

Нехай функції р і ф диференційовні на проміжку T, причо­му p'(t) =0, t Є T. Тоді складена функція y = ф(р-1 (х)) так само є диференційовною в точці х Є X і

yx = ї=ф'(р-1(х))(р-1(х))'=р^ =     Є T.

Отже, якщо функція у від змінної х задана параметрично за допомогою рівнянь (21), де р і диференційовні на проміж­ку T, причому р'(^ =0, t Є T, то похідна yx знаходиться за формулою

yx = рі аб° yx = хі- t Є T (23)

Приклад 13. Записати параметричне рівняння кола з центром в початку координат.

А Нехай M(х; у) - довільна точка кола з центром в початку ко­ординат і радіусом R. Декартові координати х і y цієї точки виража­ються через її полярний радіус r = R і полярний кут, який позначимо

 

97через t, за формулами


х = R cos t,

y = R sint, t є [0;2п].Одержані рівняння називаються параметричними рівняннями кола. Параметром в них є полярний кут t, який змінюється від 0 до 2п.

Якщо рівняння (24) піднести почленно до квадрата і додати, то параметр t виключиться, оскільки cos2 t + sin t = 1, і одержимо рівняння кола в декартовій системі координат х2 + y2 = R2, яке визначає дві елементарні функції:\/ R2 х2 і


y


vR2 х2.Кожна з них визначається параметричними рівняннями (24), але області зміни параметра t для цих функцій різні. Для першої з них 0 < t < п і графіком є верхнє півколо. Для другої функції п < t < 2п, а графіком є нижнє півколо.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння