В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 47

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

 

1і рівняння нормалі

 

y1 = 1\x- 2J   або   x y=0.

 

 

1.10. Неявна функція та її диференціювання.

Нехай задано рівняння

x2 1 = 0. (26)

У ньому кожному дійсному значенню x відповідає єдине значення y таке, що коли підставити ці значення x i y в рівнян­ня (26), то дістанемо правильну рівність. Наприклад, значен­ню x = 0 відповідає значення y = 0, оскільки при підстанов­ці цих значень x і y в рівняння (26) ми дістанемо тотожність 50 02 1 = 0. Аналогічно значенню x = 2 відповідає значення y = 1 і т.д. Це означає, що за допомогою рівняння (26) задана функція, областю визначення якої є вся числова вісь, а мно­жиною значень - множина всіх невід'ємних чисел. Ця функція називається неявною.

Нехай в загальному випадку задано рівняння

 

F (x,y) = 0, (27)

де F(x, y) - функція двох змінних. Якщо кожному значенню x Є X відповідає єдине значення y, яке разом з x задовольняє рівняння (27), то кажуть, що це рівняння визначає на множині X неявну функцію y = ip(x).

Отже, для неявної функції y = ip(x), заданої рівнянням (27), правильна рівність

 

F(x, <p(x)) =0,   x Є X.

Функція y = f(x), x Є X, яка задана рівнянням, розв'язаним відносно y, називається явною.

Якщо рівняння (26) розв'язати відносно y, то одержимо

y = log5(x2 + 1),   x Є R. (26')

 

10Ця функція є явною. Очевидно, що це та сама функція, яка за­дана рівнянням (26). Підставивши (26') у рівняння (26), діста­немо тотожність

5іо§Б(ж2+і) x2 1 = x2 + 1 x2 1 = 0.

У деяких випадках кожному значенню x Є X відповідає декілька значень y, які задовольняють разом з даним x рівнян­ня (27). Тоді це рівняння визначає не одну, а декілька неявних функцій. Наприклад, рівняння x2 +y2 1 = 0 визначає дві неяв­ні функції, які можна записати у явному вигляді, розв'язавши рівняння x2 + y2 1=0 відносно y:

y = x2,   y = \/1 x2.

Не кожну неявну функцію можна подати у вигляді явної елементарної функції. Наприклад, рівняння

5y + x2 1 = 0

визначає неявну функцію, але це рівняння не можна розв'язати відносно y так, щоб y виражалося через елементарні функції аргументу x. Не всяке рівняння F(x, y) = 0 визначає неявну функцію. Наприклад, рівняння x2 +y2 + 1 =0 не задовольняють жодні дійсні значення x і y, і, отже, воно не визначає жодної неявної функції.

Розглянемо на конкретних прикладах правило знаходжен­ня похідної від неявної функції.

Приклад 17. Знайти похідну неявної функції y, яка визна­чається рівнянням Кеплера

y є sin y = x,

де є < 1 - деяке додатне число.

< Задане рівняння не можна розв'язати відносно y за допомогою елементарних функцій, хоча воно має при кожному фіксованому x єдиний розв'язок y. Для знаходження похідної y'(x) скористаємося прийомом, який часто використовується. Оскільки функція y = y(x) є розв'язком рівняння Кеплера, то підставивши її в це рівняння, дістанемо правильну рівність

y(x) є sin y(x) = x,   x є R.

 

10Продиференціюємо обидві частини цієї рівності по x y'(x) є cos y(x)y'(x) = 1,   x є R.

 

Звідси випливає, що y' = --------- . Отже, ми знайшли похідну

1 є cos y

неявної функції y(x) не розв'язуючи рівняння Кеплера.

Приклад 18. Знайти похідну y' неявної функції y, яка визна­чається рівнянням

x2 + 2xy y2 = 2x.

Чому дорівнює похідна y', якщо: 1) x = 2, y = 4; 2) x = 2, y = 0?

А Вважатимемо, що в задане рівняння підставлено неявну функ­цію y = y(x). Тоді матимемо тотожність x2 + 2xy(x) y2 (x) = 2x, x є R. Якщо продиференціювати її по змінній x, то одержимо рів­ність

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння