В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 5

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Отже, кожному значенню y Є Y відповідає єдине значення х Є X, тобто на множині Y задана функція, множиною значень якої є X. Ця функція називається оберненою до функції y = f (х) і позначається символом х = f-1 (y). Очевидно, що для функції х = f -1(y) оберненою є функція y = f (х). Тому обидві ці функції називаються взаємно оберненими.
y

Природно, виникає запитання: якою повинна бути функція у = f (x), щоб вона мала обернену x = f-1(у)? Легко можна довести, що монотонна функція у = f (x), x Є X, має обернену.

Практично, щоб знайти для функції у = f (x), x Є X, яка задана за допомогою формули, обернену до неї функцію x = f-1 (у), У Є Y, треба розв'язати рівняння у = f(x), якщо це можливо, відносно x.

Приклад. Знайти функцію обернену до функції у = 2Xx+—~

x, одержимо

2x+3 x——

x є X, є функція

< Область визначення даної функції X =  (—оо;5) u (5; оо). Розв'язавши рівняння у = 2Xx+—~ відносно у = 2. Отже, оберненою до функції у = x = "-—г, у є Y = (—оо;2) u (2; ос).

Зауваження. Нехай функція x = f-1(у), у Є Y, є обер­неною до функції у = f (x), x Є X. Якщо незалежну змін­ну в оберненій функції позначити знову через x, а функцію -через у, то тоді обернену функцію можна записати у вигляді у = f-1(x). Наприклад, для у = x3, x Є R, оберненою є функ­ція x = ^/у, або, якщо змінити позначення, функція у = \fx, x є R.

у

0


f у = f (xV


x


Графік оберненої

функції у = f 1(x)

симетричний до гра­фіка даної функції у = f (x) відносно бісектриси у = x першого й третього координатних кутів.1.6.  Складена функція. Елементарні функції.

Нехай функція у = f (u) є функцією від змінної u, визначеною на множині U з областю значень V, а змінна u у свою чергу є функцією u = ip(x) від змінної x, визначеною на множині X з областю значень U. Тоді задана на множині X функція у = f (tp(x)) називається складеною функцією (або ком-

 

17позицією функцій, суперпозицією функцій, функцією від

функції). Змінну u називають проміжним аргументом скла­деної функції.

Наприклад, якщо y = lg u, а u = sin x, то y є складеною функцією від x: y = lgsin x. Ця складена функція визначена лише для тих значень x, при яких u = sin x > 0, тобто для x Є (2nn; п + 2nn), n Є Z, оскільки логарифмічна функція визначена лише для додатних значень аргументу.

Стала функція f (x) = C, C = const, степенева функція xa (а Є R), показникова функція ax (0 < a = 1), логарифміч­на функція loga x (0 < a = 1), тригонометричні функції: sin x, cos x, tg x, ctg x і обернені тригонометричні функції: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x називаються найпростішими еле­ментарними функціями.

Всі функції, які одержуються за допомогою скінченно­го числа арифметичних дій над найпростішими елементарни­ми функціями, а також суперпозицією цих функцій, утворю­ють клас елементарних функцій. Прикладами елементарних функцій є: f (x) = |x|; f (x) = lg3 arctg 2^x + sin3x, f (x) = ln I sin 5x| earcsi^^/x і т.д.

Розглянемо детальніше найпростіші елементарні функції.

1) Стала y = C, x Є R, - це функція, яка має одне й те саме значення для всіх значень аргументу. Графіком цієї функції є пряма, яка паралельна осі абсцис.C


y=C0

2) Степенева функція y = xa, де а - дійсне число, від­мінне від нуля. Область визначення цієї функції залежить від значень показника а. Розглянемо окремі випадки степеневої функції:

а) y = xra, n Є N; D(y) = (—ж; ж); E(y) = (—ж; ж), якщо n - непарне і E(y) = [0; ж), якщо n - парне; функція непарна,

 

 

1коли n - непарне, і парна, коли n - парне; зростає на (—ж; ж), при n - непарному; спадає на (—ж;0] і зростає на (0; ж) при
б) y = x-n, n Є N; D(y) = (—ж;0) U (0, ж); E(y) = (—ж;0) U (0; ж), коли n - непарне і E(y) = (0; ж); коли n -парне; функція непарна, при непарному n і парна при парному n; спадає на (—ж; 0) і на (0; ж), якщо n - непарне; зростає на (—ж; 0) і спадає на (0; ж), якщо n - парне.x y

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння