В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 53

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

22


к -0,14.Отже, при даному обсязі випуску продукції збільшення його на один відсоток приводить до зниження собівартості приблизно на 0,14%. ►

2.1.2. Застосування похідної в задачах природознав­ства. Як було зазначено в §1 за допомогою похідної можна визначити швидкість зміни однієї з величин у залежності від зміни іншої. Наведемо приклади, які дозволяють краще зро­зуміти зміст похідної та продемонструють її застосування при розв'язуванні конкретних прикладних задач.

Приклад 6. Розмір популяції бактерій в момент часу t (в годи­нах) визначається формулою p(t) = 106 + 104t 103t2. Знайти швид­кість росту популяції, якщо: 1) t = 1 год.; 2) t = 5 год.; 3) t =10

год.

Оскільки швидкість росту популяції дорівнює p*(t), то, знай­шовши похідну, одержимp*(t)


104  2 103t.Якщо: 1) t = 1 год., то p*(1) = 104 — 2 • 103 • 1 = 104 — 2 • 103 = 103(10

2) = 8000; 2) t = 5 год., тоді p*(5) = 104 — 2 • 103 • 5 = 104 104 = 0;

3) t =10 год., то p*(10) = 104 — 2 • 103 • 10 = 104(1 — 2) = —1000. ►

Приклад 7. Від камінця, який кинуто у воду, розходяться кон­центричні хвилі. З якою швидкістю зростає площа, охоплена хвилею, у кінці другої секунди, якщо радіус зовнішньої хвилі збільшується зі швидкістю 2 м/с.

^ Нехай x(t) - радіус хвилі у момент часу t. Тоді площа S, яка охоплена цією хвилею, визначається за формулою S(t) = 7гх2. Швид­кість зростання площі хвилі

S*(t) = 27TXX*(t).

 

11Згідно з умовою х = 2 ■ 2 = 4, x'(t) = 2, а томуS'{2) = 2п 4 2 = 16п м/с2. Цю задачу можна розв'язати по-іншому.

Оскільки швидкість зміни радіуса x(t) хвилі є сталою і при t = 0 цей радіус дорівнював нулю, то x(t) = 2t. Тому площа S, яка охопле­на хвилею в момент часу t визначається рівністю S(t) = 4nt2. То­ді швидкість зростання площі хвилі S'(t) = 8nt, а отже, S'(2) = І6п м/с2. ►

Приклад 8. Кінець A рейки AB довжиною 5 м піднімається із землі краном зі швидкістю 5 см/сек. Другий кінець волочиться по землі. Яка швидкість руху кінця B у момент, коли кінець A піднявся на 2,8 м?

Нехай точка C - точка, над якою зна-
^                                  ходиться кран,
x(t) - відстань від кінця B

до точки C, t - час, відрахований від почат-
ку
підйому. З трикутника ABC знаходимо,
що
BC =^AB2 - AC2. Оскільки AB = 500
C         b          см, AC = 5t, а AC = x(t), dx(t) І

x(t) = у/5002 - 25t2. кг

Тоді —— = , ----------- (50t) =    ,_ _____ =. Нас цікавить

dt          V5002 - 25t2                  л/5002 - 25t2

швидкість руху кінця B у момент часу to, коли відстань AC = 280 см,

тобто 5t0 = 280 або t0 = 56 сек. Отже,

dx(to)          -25 56         -1400 OQ

------ =   ,                   = =-------- = — 3, 38 см/сек.

dt        л/5002 - 25 562     414,25        ' '

 

 

2.2. Основні теореми про диференційовні функ­ції. Застосування похідної до дослщження функцій

2.2.1. Основні теореми про диференційовні функ­ції. У цьому пункті розглянемо властивості диференційовних функцій, які часто використовуватимемо даль Введемо спочат­ку поняття внутрішньої точки множини. Точка xo називається внуиршньою точкою множини X, якщо існує 5-окіл цієї точ­ки (xo - 5; xo + 5), який міститься у множині X.

 

113Теорема 2 (теорема Ферма). Нехай у внутрішній точ­ці Хо області визначення X функція f досягає найбільшого (найменшого) значення. Тоді, якщо існує похідна f'(хо), то Ґіхо) = 0.

Л Припустимо, що, наприклад, f о) є найбільшим значен­ням функції f. Оскільки Хо є внутрішньою точкою множини X, то існує 5-окіл цієї точки, який міститься в X. Тому для довільних достатньо малих приростів аргументу Ах, маєм
Тоді, згідно з властивістю границі функції, одержуємо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння