В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 56

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Л Припустимо, що точка х0 є точкою максимуму. Тоді для неї існує окіл (х0 5; х0 + 5) С X такий, що в точці х0 / досягає найбільшого значення у порівнянні із значеннями / в точках цього околу. Тому з теореми Ферма випливає, що /'(х0) = 0. Аналогічно доводиться теорема і у випадку, коли х0 є точкою мінімуму функції /. ►

Ця теорема дає необхідну умову екстремуму. Корені рівняння /'(х) = 0 називаються критичними або стаціонар­ними точками функції /. До критичних точок належать та­кож точки, в яких похідна не існує або нескінченна, але функ­ція в них визначена.

Наприклад, для функції /(х) = |х|, х Є R, критичною є точка х = 0 у якій похідна не існує.

Приклад 9. Знайти критичні точки функції y = х3, х Є R.

Л Маємо у' = 3х2. Тоді з рівняння Зх2 = 0 знаходимо, що х = 0. Отже, точка хо = 0 є критичною, але в цій точці функція не має екстремуму, бо вона зростає на R.

З цього прикладу випливає, що треба ще знати достатні умови екстремуму.

Теорема 7 (достатні умови екстремуму). Якщо х0 -критична точка функції / і в деякому околі цієї точки зліва й справа від неї похідна /'(х) має протилежні знаки, то в точці х0 функція / має екстремум, причому:

1)  максимум, якщо /'(х) > 0 при х < х0 і /'(х) < 0 при х > х0;

2)  мінімум, якщо /'(х) < 0 при х < х0 і /'(х) > 0 при х > х0.

Якщо ж похідна не змінює знаку при переході через точку х0, то в цій точці функція екстремуму не має.

Л Якщо /'(х) > 0 (/'(х) < 0) при х < х0 і /'(х) < 0 (/'(х) > 0) при х > х0, то це означає, що зліва від точки х0 функція зростає (спадає), а справа від неї - спадає (зростає), тому /(х0) є найбільшим (найменшим) у деякому околі точки

 

 

11Хо, тобто в точці Хо функція / досягає найбільшого (наймен­шого) значення.
\
Хо


х


0


ХЯкщо /'(х) > 0 при х < хо і /'(х) > 0 при х > хо, то / (х) зростає в усьому околі і тому Хо не є точкою екстремуму. Аналогічно одержуємо, що / не має екстремуму, коли в околі точки Хо похідна /'(х) < 0. ►

Приклад 10. Знайти екстремум функції
4

Х

х3.3х2 = 0 випливає,

Маємо у' = х3 3х2. Тоді з рівняння х3 що хі =0, Х2 = 3 є критичними точками.

Скористаємося достатніми умовами екстремуму. Знаки похідної у' = х2(х 3), а також зростання (спадання) функції зобразимо на

рисунку

У'33 = 33(3 — 1)

34 4

х2 = 27

т.

Оскільки у' (х) < 0 при —оо < х < 0, у' < 0 при 0 < х < 3, у' > 0 при 3 < х < +оо, то в точці хі =0 функція не має екстремуму, а в точці

3 має мінімум, причому /min = /(3)

Сформулюємо інші достатні умови екстремуму. Теорема 8. Якщо функція / двічі неперервно диференцій­овна в околі точки хо, тобто існує друга похідна /"(х), яка неперервна в цьому околі, /'(хо) = 0, а /"(хо) = 0, то в цій точці функція / має екстремум, а саме: 1) максимум, якщо /''(хо) < 0; 2) мінімум, якщо /''(хо) > 0.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння