В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 57

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

< Нехай /'(хо) = 0, a /"(xq) < 0. Оскільки /" неперервна в околі точки Хо і /''(xq) < 0, то вона є від'ємною і в деякому околі точки Хо, а це означає, що /' спадає в цьому околі. Згідно

 

119з умовою f'(xo) = 0, а тому зліва від точки жо, f'{%) > 0, а справа f'(x) < 0. Звідси випливає за теоремою 7, що f в точці жо має максимум.

Дана теорема не діє у випадку, коли f "(жо) = 0. У цьому випадку функція f може мати екстремум в точці жо, а може й не мати.

Проілюструємо це на конкретних прикладах.

Як доведено в прикладі 9 функ-
\  У = ж3

 

 

ж


ція f (ж) = ж3, ж Є R має критичну точку жо = 0. Оскільки f "(ж) = 6ж, то f"(0) = 0, але функція екстре­муму не має.Аналогічно для функцій f (ж) = ж4, ж Є R, і д(ж) = —ж4, ж Є R, точка жо = 0 так само є критичною точкою. Другі по­хідні дорівнюють відповідно f"(ж) = Уїж2, д"(ж) = —Уїж2 і перетворюються в нуль при жо = 0. Перша з цих функцій має в критичній точці жо = 0 мінімум, а друга - максимум.
f   У = жж


ж

У = —жПриклад 11. На сторінці книги друкований текст повинен зай­мати см2. Поля зверху i знизу мають по а см, а справа i злiва -по b см. Знайти найекономiчнiшi розміри аркуша паперу.

Позначимо через ж ширину, а через y висоту частини сторінки, яку займає друкований текст. Тоді ширина усього аркуша дорівнює

S0

жу, то у

S (ж) = lbS0

la + у. Тому площа усього аркуша паперу S

Отже, треба дослідити на мінімум

S0

ж

ж2

(lb + ж)(їа +).

Тоді з умови S'^) = 0 одержуємо, що жо

 

12/bS0                                 гл     •     QUI   \       4bS0 пін     ч ^ n

\ ---- - є критичною точкою. Оскільки S (ж) = 5—, то S0) > 0,

V   а ж3

а тому функція S(ж) у точці ж0 має мінімум.

Звідси випливає, що ширина аркуша дорівнює lb + \     , а ви-

___  V a

aS0

сота la +d     

2.2.3. Знаходження найбільшого i найменшого зна­чень функції. У застосуваннях важливу роль відіграють задачі про знаходження найбільшого й найменшого значень функції на проміжку X.

Нехай функція f визначена на проміжку X. Якщо для будь-якого ж Є X виконується нерівність f (ж) < f о) (f (ж) > f о)) для деякого жо Є X, то жо називають точкою глобально­го максимуму (мінімуму) функції на проміжку X, а чис­ло f о) - найбільшим (найменшим) значенням функції на цьому проміжку і позначають символом max f (ж) = f о)

(min f (ж) = f (жо)). Наприклад, min ж2 = 0, max sin ж = 1. За­уважимо, що функція може не мати найбільшого (найменшого) значення. Наприклад, max ж3 не існує,   min  tg ж не існує.

Раніше ми з'ясували, що коли функція f неперервна на [a; b], то вона досягає на цьому відрізку своїх найбільшого і най­меншого значень. Це можливо або в точках екстремуму, або на кінцях відрізка. Тому для знаходження найменшого і найбіль­шого значень функції, яка неперервна на [a; b] і диференційовна на (a; b), треба обчислити її значення в усіх критичних точках і на кінцях відрізка, а потім вибрати серед них найменше та найбільше.

Приклад 12. Знайти найбільше й найменше значення функції у = 3ж3 їж2 + + 1 при ж є [0; 4].

Знаходимо у' = ж2 + 3 і розв'язуємо рівняння у' = 0 або ж2 + 3 = 0, корені якого жі = 1, ж2 = 3. Обидва корені належать проміжку [0;4]. Оскільки у(0) = 1,у(1) = 7,у(3) = 1,у(4) = 7, то max у(ж) = 7, min у (ж) = 1. ►

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння