В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 58

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

ХЄ[0;4]    ^   7       3  xe[0;4]yV '

Приклад 13. У рівнобедренний трикутник з довжинами сторін 15 см, 15 см і 18 см вписано паралелограм найбільшої площі так, що

 

12кут при основі в них спільний. Знайти довжини сторін паралелогра-

ма.В


 

 

 

С


А Нехай АВС заданий трикутник, а AKLM - деякий з паралелограмів, вписа­них в цей трикутник. Згідно з умовою кут А у них спільний, а АВ = ВС =15 см і АС = 18 см. Введемо позначення AK = x, AM = y, = а.Тоді площа паралелограма AKLM знаходиться за формулою

S = xy sin а.

Оскільки S залежить від двох змінних, то виразимо одну із цих змінних через другу. Очевидно, що трикутники АВС і KBL подібні, бо відповідні кути у них рівні. Тому

15_ x      y 6

         = —   або   y = -(15 — x).

S(x)

 

Тоді, підставивши цей вираз у функцію S, дістанемо функцію однієї змінної

6x

(15 _ x) sin а,   0 < x < 15.

Дослідимо цю функцію на найбільше значення. Маємо

6 sin а

S'(x) =          (15 _ 2x),а тому S' = 0 в точці x


15


і SS' змінює знак з плюса на мінус припереході через цю стаціонарну точкуSS

S 0


15 Тоді площа 15 >

15

Тому S набуває найбільшого значення при x

15 6

S досягає найбільшого значення при x = —, y = — (15 —— ) = 9.

2           5 2

Отже, паралелограм AKLM буде найбільшої площі тоді, коли його

сторони дорівнюють відповідно 7,5 см і 9 см.

2.2.4. Напрямок опуклості графіка функції. Точ­ка перегину. Графік диференційовної функції називається опуклим догори (донизу) на проміжку X, якщо в цьому

 

12проміжку він розміщений нижче (вище) довільної своєї дотич­ної. На рис. 1 а), б) відповідно показано графіки функцій опук­лих догори та донизу.

Достатні умови опуклості графіка функції дає така теоре­ма.

Теорема 9. Якщо функція f має на проміжку X другу похідну і f "(x) > 0(f "(x) < 0) на X, то графік функції опуклий донизу (догори).

Необхідна умова опуклості слабкіша: якщо функція опукла на проміжку X, то можна стверджувати лише, що f"(x) > 0 (або f"(x) < 0) x Є X. Наприклад, функція y = x4 опукла на всій числовій осі, у той час як її друга похідна y" = 12x2 не скрізь додатна, зокрема, y"(0) = 0.

Точкою перегину графіка функції f називається його точка, при переході через яку він змінює напрямок опуклості.

 

y

 

Л = f (x)

 

V

_VMo(xo; f (xo))

 

 

 

0

x

З цього означення випливає, що точки перегину - це точки екстремуму першої похідної.

У точці перегину дотична перетинає графік функції, оскіль­ки він переходить з одного боку дотичної на другий, тобто пе­регинається через неї.

Доведено, що коли функція f двічі диференційовна на про­міжку X і її графік має перегин в точці (xo; f (xo)), xo Є X,

 

123то /"(жо) = 0. Умова рівності нулю другої похідної в точці Жо називається необхідною умовою перегину.

Достатня умова перегину функції / в точці Мо(жо; /о)) дається такою теоремою.

Теорема 10. Якщо для функції / друга похідна /" у дея­кій точці Жо перетворюється в нуль, а при переходi через цю точку змінює знак на протилежний, то точка Мо(жо; /о)) є точкою перегину графіка функції.

Приклад 14. Знайти точки екстремуму i перегину функції y = e-x та побудувати її графік.

Послідовно знаходимо: у' = —2же-х , у" = (4ж2 2)e-x Оче­видно, що у'(ж) =0 в точці ж = 0. Оскільки у''(0) = —2 < 0, то в точці ж = 0 функція має максимум і ymax = у(0) = 1.

< ж < +оо.

<

З рівняння у''(ж) = 0 або (4ж2 2)e-x = 0 одержуємо ж = ±. Зміна знаку другої похідної така: у''(ж) > 0, коли —оо < ж < --щ, у''(ж) < 0, коли

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння