В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 59

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

--д, у''(ж) > 0, колиMy


M2


у


e
жV2


/Отже, в точках Mi(     ; --j^) і       ; ~}ё) графік функції має

перегин, оскільки при переході через точку Mi графік функції змі­нює напрямок опуклості донизу зліва на опуклість догори справа, а через точку M2 - опуклість догори зліва на опуклість донизу спра­ва.

2.2.5. Асимптоти графжа функції. Можливі ситуації, коли графік функції як завгодно близько наближається до пев­ної прямої. Таку пряму називають асимптотою. Розрізняють три види асимптот: вертикальні, горизонтальні та похилі.

Вертикальна асимптота. Пряма ж = а є вертикальною асимптотою графіка функції у = /(ж), якщо / визначена в деякому околі точки a або принаймні в одному з півоколів, за винятком, можливо, самої точки а, й хоча б одна з однобічних

 

 

12границь дорівнює нескінченності, тобlim  f (x) = ±00

x—a—0 або      lim f(x) = ±0.

x—a+Очевидно, що пряма x = a не може бути вертикальною асимптотою, якщо функція неперервна в точці а, оскільки lim f (x) = f (а). Отже, графік функції, яка неперервна на всій

x—a

числовій осі, вертикальних асимптот не має. Тому вертикальні асимптоти x = а треба шукати в точках розриву функції f або на кінцях її області визначення.

Приклад 15. Знайти вертикальну асимптоту графіка функціїно, що   lim  — =

x—0-0 x

—00,   lim  — =

x—0+0 x

Якщо x = 0, то функція неперервна, i тому вертикальної асимптоти немає. Вона можлива в точці розриву x = 0. Очевид-

+00. Звідси випливає, що пряма

x = 0 є вертикальною асимптотою графіка функції.

Горизонтальна асимптота. Якщо функція f визначена при досить великих x та існує скінченна границя   lim  f(x) =

x—±oo

b, то пряма y = b є горизонтальною асимптотою графіка функції f (правобічною, коли x+00, лівобічною, коли x сю і двобічною, коли обидві однобічні границі однакові).

Приклад 16. Знайти горизонтальну асимптоту графіка функ­ції y = ax, а > 1, x є R.

Оскільки при а > 1 границя   lim  ax = 0, то пряма y = 0 є лі-

x> оо

вою горизонтальною асимптотою. Правої горизонтальної асимптоти задана крива не має, бо   lim dx = +0.

x>+<оо

Похила асимптота. Нехай, функція f визначена при до­сить великих x. Пряма y = kx + b називається похилою асимптотою графіка функції при x +0 (x —0), якщо

 

125lim (f (x) kx b) = 0  ( lim (f (x) kx b) = 0). Для того

X + 00                               X — -00

щоб пряма y = kx + b була похилою асимптотою графіка функ­ції y = f(x), необхідно й досить існування скінченних границь

f(x)

k =  lim          ,   b =  lim (f (x) kx)

X—+00     x X—+OO

або

f(x)

k =  lim          ,   b =  lim (f(x) kx).

x—-0      x x—-0

У першому випадку маємо праву похилу асимптоту, а в дру­гому - ліву. Якщо границі збігаються, то пряма y = kx + b є двобічною похилою асимптотою.

Приклад 17. Знайти асимптоти графіка функції y =      .

x2 + 1

Очевидно, що графік функції не має ні вертикальних асимп-

x3

тот, бо немає точок розриву, ні горизонтальних, бо lim —2               = 00.

x—о x2 + 1

Знайдемо похилу асимптоту. Маємо

k =   lim   f ( ) =   lim  -т;     =   lim  -2             = 1,

x—±o    x    x—±o x2 + 1 x       x—±o x2 + 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння