В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 71

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Функція F називається первісною для функції f на про­міжку X, якщо для всіх значень x Є X виконується рівність F '(x) = f (x).

x

Приклад 1. Знайти первісну для функції: 1) f (x) =         ,

V1 - x2

x є            2)f (x) = 1, x є (0; ос).

x

1) Очевидно, що первісною для заданої функції є функція F(x) = л/1 - x2, x є (-1; 1). Справді,

(л/1 - x2)' =     , 1      (-2x) =----- р==,   x є

 

2) Оскільки (lnx)' = —, x є (0; оо), то F(x) = lnx є первісною x

для функції f (x) = X, x є (0; о). ►

Якщо первісна для функції f існує, то вона визначається неоднозначно. Справді, якщо F - первісна для функції f на X, то для довільного C Є R функція F + C є також первісною для функції f на X, бо

 

(F(x)+ C)' = F'(x) + 0 = f (x),   x Є X.

 

14З іншого боку, якщо F і G - первісні для функції f на X,

то

(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x) = f (x) - f (x) = 0,   x Є X.

Тоді, згідно з наслідком 2 теореми Лагранжа (розділ 7, §2, п.2.2.1), існує C Є R таке, що для всіх x Є X правильна рівність F(x) - G(x) = C, або F(x) = G(x) + C.

Отже, якщо F одна із первісних для функції f на X, то довільна первісна Ф для функції f на X має вигляд

Ф^) = F(x) + C,   x Є X,   C Є R. (1)

Рівність (1) називають основною властивістю первіс­ної. Геометричний зміст її такий: графіки всіх первісних функ­ції f дістаємо паралельним перенесенням будь-якого з них вздовж осі Oy.

Приклад 2. Для функції f (x) = 2x - 1, x Є R, знайти ту первісну, графік якої проходить через початок координат.

Оскільки F'(x) = (x2 - x)' = 2x - 1 = f (x), x Є R, то функція F(x) = x2 - x є первісною для функції f (x) = 2x - 1, x Є R. Згідно з основною властивістю первісної будь-яка первісна функції f (x) = 2x - 1 має вигляд Ф^) = x2 - x + C, x Є R, C Є R. Оскільки точка 0(0; 0) лежить на графіку цієї функції, то 0 = Ф(0), тобто 0 = 02 - 0 + C або C = 0. Отже, шукана первісна Ф^) = x2 - x.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння