В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 8

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

ні непарна; 6) ні парна, ні непарна. 4. 1) п; 2) 3; 3) 2; 4) ^; 5) 1;

6) П. 5. 1) ymin = 4, ymaX = 5; 2) ymin = —5, ymax = 5; 3) ymin = 1;
4) ymin       2, ymax       2; 5) ymin       2 ' ymax       1. 6. x     ymax       1g .

7. 1) Якщо a = 0, то обернена функція не існує, якщо a = 0, то x = - обернена функція і D = (—те; те); 2) x = 1 ey, D = (—те; те); 3) x = 2log2 y, D = (0, те); 4) x = —^¥++1, D = [— 4; те); 5) x =

yy, якщо y < 0,

[ 2,   якщо  y > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25§2. Границя функції

2.1. Означення границі функції. Під околом U(a)

точки a (a - дійсне число) розумітимемо довільний інтервал

(а; в), який містить цю точку.

U (a)

,        Л        V

---------------------------------------- - x

а       a в

Під околом U(ж) символа ж розумітимемо зовнішність будь-якого відрізка [а; в] ,тобто U(ж) = (—ж; а) U (в; +ж).

У*- x

а     a в U (ж)

Через U(a; 5) позначатимемо 5-окіл точки a, тобто інтер­вал (a 5; a + 5), 5 > 0.

 

U(a; 5)

'Ш///М------------  x

a — 5   a a + 5

Надалі ми також використовуватимемо поняття правого й лівого 5-околу або правого й лівого 5-півоколу точки a:

 

U+(a; 5) = (a; a + 5); U-(a; 5) = (a — 5; a).

Нехай функція f визначена на множині X. Точка a (a -скінчене) називається точкою скупчення цієї множини, якщо її довільний 5-окіл U(a; 5) містить нескінченно багато елементів множини X. У найпростішому випадку можна вважати, що функція f визначена у деякому околі точки a, причому в самій точці a функція f не обов'язково визначена.

Отже, нехай a - точка скупчення множини X - області визначення функції f.

Число b називається границею функції f (x) при x —>■ a

 

 

26( або в точці а), тобто

 

lim f (x) = b,

 

якщо для довільного є > 0 існує 5 = 5 (є) > 0 таке, що

 

\f(x) - b\ <є,

o o

як тільки x є U(а; 5) ПX, де U(а; 5) = U(а; 5) \ {а} (проколений окіл точки а).

Коротко за допомогою символів це означення можна запи­сати так:

lim f (x) = b є> 0 35 = 5 (є) > 0 Ух є U (а; 5) П X : \f(x) - b\ <є.

З'ясуємо геометричний зміст цього поняття. Згідно з озна­ченням для будь-якого є > 0 існує таке 5 > 0, що як тільки число x попадає в проколений 5-окіл точки а (x є 5; а) U (а; а + 5)), то число f (x) попадає в є-окіл точки b, отже, ча­стина графіка функції f , що відповідає даному околу точки а, лежить у смузі між горизонталями y = b є та y = b + є

(рис. Х)                „.   .                                                    ,/ Л

Зауважимо, що значення функції f в самій точці а нас не цікавить, зокрема, функція в точці а може бути не визначена. Якщо а = то, то

 

lim f (x) = b є> 0 3 A > 0 V\x\ > А і x є X : \ f (x)—b\ < є.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння