В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 92

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

 

(F(p(t)))' = F'(<p(t))<p'(t) = f (<p(t))<p'(t),   t Є [а;в].

З цієї рівності випливає, що функція F(<£>(t)) є пєрвісною для функції f (y?(t))y/(t), яка неперервна на відрізку [а;в]. За

 

 

179формулою Ньютона-Лейбніца

 

 

/{vttWWt = F(<p(/3)) - F(<p(a))

 

 

 

F(b) - F(a) = / /(x)dx.

 

З цієї рівності й випливає правильність формули (10). ► Формулу (10) називають формулою заміни змінної або підстановки у визначеному інтегралі.

Зазначимо, що при обчисленні визначеного інтеграла за до­помогою заміни змінної не треба повертатися до старої змінної, як при знаходженні невизначеного інтеграла, оскільки визна­чений інтеграл це число, яке, згідно з формулою (10), дорівнює значенню кожного з інтегралів. При заміні змінної у визначено­му інтегралі треба знайти нові межі інтегрування та виконати необхідні перетворення підінтегрального виразу.

2

Приклад 7. Обчислити інтеграл [ cos3 x sin xdx.

 

А Оскільки умови теореми 3 виконуються, cos3 x sin xdx


 

dt


t


cos x, sin xdx,


 

x

0 n/2

t

1 0

t3dt = t3dt


t4llПриклад 8. Обчислити штеграл


\fx - 180


А Для того щоб позбутися iррацiональностi, зробимо замшу змін-тому

/                    = f Ш = 2 / ^=2 f (t2 -    + 1 dt

J vx -1     J t -1    J t -1    J    t -1

4  2          2 '9

= 2 ( - + 3 - 2 - 2 + ln2 - ln1) = 2( -- 1 + ln 2) =

2 у j (t + 1)dt + J       j = 2^( | + t)|2 + ln(t -

7

= ^2 + ln^=7 + 2ln2.

0=2(2- 1+ln2)2.4. Визначений інтеграл як границя інтеграль­ної суми. Розглянемо інший, ніж ми вивчили раніше, підхід до введення визначеного інтеграла і встановимо зв'язок між обома підходами. Нехай функція y = f (x) визначена й непе­рервна на [а; Ь]. Розіб'ємо відрізок [а; Ь] на n частин точками а = xo < x\ < ... < Xi-i < Xi < ... < xn = b. Позначимо через Axi довжину відрізка [xi-i; xi] тобто Axi = xi - xi-i, i Є {1,... ,n}. Візьмемо на [x^i;xi] довільну точку £i і складе­мо суму

 

a = f (6)Axi + f (6)Ax2 + ... + f (in)Axn,

 

або

n

a = £ f (il)Axl. (11)

i=i

Цю суму називають інтегральною сумою для функції f, що відповідає взятому розбиттю сегмента [а; Ь] на ча­стини і даному вибору точки £і Є [x—i,xi], i Є {1,... ,n}.

Якщо існує скінченна границя a при A = max Axi 0 і не залежить від способу розбиття відрізка [а; Ь] на частини і

 

 

 

18вибору точок £і, то її називають визначеним інтегралом від

b

функції f на [а; Ь] і позначають символом f(x)dx.f (x)dx = Urn      f (&)Axi.


(12)Нехай f (x) > 0,x Є [а; Ь]. Розглянемо фігуру, яка обмежена зверху графіком функції y = f (x), знизу - відрізком [а; Ь], з боків - прямими x = а і x = Ь. Така фігура називається кри­волінійною трапецією.

182



Очевидно, що площа криволінійної трапеції дорівнює наближено інтегральній     сумі a, бо   кожну елементарну криволінійну трапецію з основою [xi-i, xi] можна замінити прямокутником з  основою  Axi   і висо­тою f (£і ),  площа якого f (^i)Axi. З іншого боку, якщо ми розглянемо криволінійну трапецію з основою [а; x] і позначимо її площу через S(x), то, надавши x приросту Ax, одержимо, що S(x) набуде приростуЯкщо M =     max    f(t), m =     min    f(t), то mAx <

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння