В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 93

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

t£[x,x+Ax] t£[x,x+Ax]

AS < MAx. Тоді

AS

m < — < M.

Ax

Нехай Ax -   0, тоді m і M прямують до f(x), а тому

AS

limo ax = f (x)'

тобто S'(x) = f (x), x Є [а; Ь]. Отже, змінна площа S(x) є однією із первісних для функції f(x) на відрізку [а; Ь]. Тому

x

S(x) =   f(t)dt (13)

 

 

бо S(а) = 0.

Якщо x = Ь, то з (13) одержимо, що площа усієї криволіній­ної трапеції

S = J f (t)dt.

 

 

Оскільки інтеграл із змінною верхньою межею     f(t)dt від

a

неперервної на [а; Ь] функції f є однією із первісних для неї, то будь-яка інша первісна F(x) записується у вигляді

x

F(x) = j f (t)dt + C. (14)

 

Якщо підставити в (14) x = а і x = Ь, то дістанемо, що C = F(а) і

У f (t)dt = F(Ь) - F(а),

 

183тобто формулу Ньютона-Лейбніца. Отже, обидва означення визначеного інтеграла є еквівалентними.

 

2.5. Невласні інтеграли. При означенні інтеграла

b

Jf(x)dx

a

припускалося, що: 1) проміжок інтегрування [a; b] скінченний; 2) підінтегральна функція f визначена і неперервна на [a; b]. Такий інтеграл часто називають власним. Якщо ж пору­шується хоча б одна з цих умов, то символ (1) називають невласним визначеним інтегралом.

З'ясуємо зміст цього нового поняття для двох найпростіших випадків.

2.5.1. Невласні інтеграли з нескінченними межа­ми інтегрування. Нехай функція f неперервна на проміжку [a; +оо). Тоді вона інтегровна на кожному скінченному проміж­ку [a; b] С [а;+оо), тобто існує інтеграл

b

J f(x)dx.

a

Під невласним інтегралом

 

j f(x)dx (15)

a

розумітимемо границю

+oo b

/ f (x)dx =  lim   / f (x)dx. (16)
J                   b^+° J

aa

Якщо границя в (16) існує і є скінченною, то невласний ін­теграл (15) називається збіжним і його значення визначається

 

18формулою (16). Якщо ж ця границя не існує або є нескінчен­ною, то рівність (16) втрачає зміст, а невласний інтеграл на­зивається розбіжним і йому не надають жодного числового значення. Якщо f невід'ємна на [а;+оо), то невласний інте­грал (15) є площою криволінійної фігури, обмеженої графіком функції y = f (x), віссю Ох і прямою x = а.


y

 

 

 

п

 

 

777 ,


Нехай f має первісну F на [а;+оо), тобто F'(x) = f (x), x Є [а; +оо). Тоді

+oo b

/ f (x)dx =  lim   / f(x)dx =  lim (F(b) F(a)).

J                   b—+oo _/              b—+oo

a a

Якщо ввести умовне позначення

F(+оо) =  lim F(b),

b—+oo

то дістанемо для збіжного невласного інтеграла (15) узагаль­нену формулу Ньютона-Лейбніца:

 

f (x)dx = F (+оо) F (а),

 

де F'(x) = f (x), x Є  [а; оо), причому невласний інтеграл збіжний тоді й тільки тоді, коли існує скінченна границя lim F(b) = F(+оо).

b—>+oo

+00

        2, якщо він збіжний,

1 + x2'

0

або довести його розбіжність. А Згідно з означеннямI   q                      11111   f           n          щи

J 1 + x2 b—+ooj 1 + x2 b—+oo 0 0


185=  lim (arctg b arctg 0) =  lim arctg b = —. ►

b—+oo                              b—-\-oo 2

Аналогічно як у випадку означення (16) можна розглянути невласний інтеграл з іншим нескінченним проміжком інтегру­вання, а саме:

 

 

f(x)dx =  lim f(x)dx.

a

 

Можна також розглядати невласний інтеграл з нескін-

+oo

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння