В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 94

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

ченними нижньою і верхньою межами   J f (x)dx. Для цьо-

—oo

го візьмемо довільну точку c. Вона розіб'є числову вісь на дві півосі (—оо; c] і (с;+оо). Якщо існують невласні інтеграли

c +oo

f(x)dx і      f(x)dx, то кажуть, що існує й невласний інте-

—o c +oo

грал J f (x)dx. У цьому випадку покладають

 

+oo                 c +oo

f(x)dx =     f(x)dx + f(x)dx.

—o                —o c

 

Можна довести, що величина  J f (x)dx не залежить від

—o

вибору точки c.

+оо

/

dx =, якщо він x

1

збіжний, або довести його розбіжність. А Маємо

+оо b

=  lim      x-2dx =  lim 2y/x\\ =  lim (2Vb 2) = оо.

1 1

Отже, інтеграл розбігається.

 

 

186+ оо

Приклад 3. Обчислити невласний інтеграл J cos2xdx, якщо

0

він збіжний, або довести його розбіжність.

+ оо b

/

і'                             sin 2x
cos2xdx =   lim   / cos2xdx =   lim ------ 10 =
b^ooj                           b>+oo 2

00
і-     sin 26      .               r. r

lim —-—, то інтеграл розбігається, бо ця границя не існує.

ь>+оо 2

2.5.2. Невласні інтеграли від необмежених функцій.

Нехай функція f визначена на проміжку [а; 6). Точку 6 назива­тимемо особливою, якщо функція f необмежена в довільному околі цієї точки, але обмежена на будь-якому відрізку, що мі­ститься в [а; 6). Нехай функція f неперервна на [а; 6), а точка 6 є особливою. Очевидно, що f інтегровна на відрізку [а; 6 є], де

Ь-є

є > 0, тобто існує інтеграл J f (x)dx. Тоді, якщо існує скінчен-

на границя 1іи+0 J f (x)dx, то її беремо за невласний інтеграл Ь

j f (x)dx від необмеженої функції f. Отже,

 

 

f (x)dx =  Yiml f (x)dx. (17)

 

У цьому випадку кажуть, що невласний інтеграл (17) з6і-гається. Якщо ж границя не існує або нескінченна, то інтеграл (17) розбігається. Аналогічно, якщо x = а - особлива точка, то невласний інтеграл визначається так:

 

 

f(x)dx =  Нг±і0 / f(x)dx.

 

Якщо ж x = c - єдина внутрішня особлива точка на відрізку

 

 

187[a; b], то покладаемо

оси

J f (x)dx = J f (x)dx + j f (x)dx (18)

a                  a с

за умови, що обидва невласні інтеграли справа збігаються.

Якщо особливих точок на відрізку [a; b] декілька, то відрі­зок розбивають так, щоб в кожному відрізку розбиття було не більше однієї особливої точки, і використовують рівність (18).

Якщо F - первісна для функції f, то покладемо F(a + 0) = lim  F(a + Єї), F(b 0) =   lim   F(b є2), якщо ці границі

єі^0+0 є2^0+0

скінчені. Тоді аналогом формули Ньютона-Лейбніца для збіж­ного невласного інтеграла, у якого особливими точками є точки x = a і x = b, буде формула

о

If {x)dx = F (b0)  F (a + 0)'

a

У випадку неперервної на відрізку [a; b] функції F одержи­мо формулу, яка за формою повністю збігається з формулою Ньютона-Лейбніца:

о

J f (x)dx = F(b)  F(a). (19)

 

і

/

dx =, якщо він існує, або x

о

довести його розбіжність.

А Шдштегральна функція f (x) = —= має єдину особливу точку

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння