В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 95

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

x

x = 0 на проміжку інтегрування (0; 1]. Первісною для цієї функції є F(x) = 2a/x, яка неперервна на цьому проміжку. За формулою (19)

маємо:

і

dx         _ 11

x =2^|о = 2 0 = 2.

 

18/dx

Отже, невласний інтеграл збігається і дорівнює 2. ►

і

якщо він збіжний, або

x

о

довести його розбіжність.

А Підінтегральна функція f (x) = має на проміжку інтегруван-

x

ня (0; 1] єдину особливу точку x = 0. Первісною для неї є F(x) = ln x. Тому маємо

і і

/

dx                   f dx

— =  lim   / — =   lim ln x| Є =   lim (ln 1 — ln є) = x       є^0+0 J    x       є^0+0 є^0+0 0 є

lim ln є = +oo.

є^0+0

Отже, невласний інтеграл розбігається.

2.6. Застосування визначеного інтеграла.

2.6.1. Обчислення площі плоскої фігури. Розгляне­мо поняття площі фігури. Під фігурою розумітимемо довільну обмежену множину точок площини. Вважатимемо, що площа фігури повинна задовольняти такі властивості:

1) якщо фігура Q складається з двох фігур Qi і Q2, тобто Q = Qi (J Q2, причому Qi і Q2 не мають спільних внутрішніх точок, то площа S(Q) = S(Q2) + S(Q2);

2) якщо фігури Qi і Q2 є рівними, тобто при деякому русі суміщаються, то S(Qi) = S(Q2);

3) площа довільного прямокутника зі сторонами a і b дорів­нює добутку ab.

Виходячи з цього, вводиться понят-
B                 C   тя площі широкого класу фігур. Спо-

чатку, маючи паралелограм ABCD по­будуємо прямокутник BCKL, опустив-A     L       D     K  ши з точок B і C перпендикуляри на сторону AD.

Оскільки трикутники ABL і DCK рівні, то Sabcd = Sbckl = BL AD. Отже, площа паралелограма дорівнює до­бутку його висоти на сторону. Якщо ж маємо довільний три­кутник, то, доповнивши його до паралелограма, одержимо, що

 

189площа трикутника дорівнює половині добутку основи на висо­ту. Оскільки будь-який многокутник є об'єднанням скінченно­го числа трикутників, то згідно з властивістю 1) його площа дорівнює сумі площ трикутників, які його утворюють.

Нехай Q - будь-яка плоска фігура. Розглянемо довільні многокутники P і Q такі, що P С Q С Q. При цьому вва­жатимемо, що порожня множина 0 є многокутником, площа якого дорівнює нулю, тобто S(0) = 0.

Верхньою   площею  S             фігури   Q   назвемо число

S= ^rif^S(Q). Нижньою площею S*(Q) фігури Q на­звемо число S*(Q) = sup S(P).

P СП

Фігура Q називається квадровною, тобто такою, що має площу, якщо S= S*(Q). Це спільне число називається площею фігури Q і позначається символом S

Доводиться, що для квадровних фігур та їхніх площ пра­вильними є властивості 1) - 3). Клас квадровних фігур є до­статньо широким. До нього належать, зокрема, криволінійні трапеції і фігури, які є об'єднанням скінченного числа кри­волінійних трапецій.

У пункті 2.4 було встановлено, що визначений інтеграл від неперервної невід'ємної функції y = f (x), x Є [a; b] - це площа криволінійної трапеції aABb (рис. 1), тоб
0


a


Рис. 1


b


 

 

 

 

x


S

(20)

 

f(x)dx.

 

Очевидно, що коли f (x) < 0, x Є [a; b], то площа S відповідної кри­волінійної трапеції знаходиться заформулою
f(x)dx.Якщо область обмежена двома неперервними лініями (рис. 2) y = fi(x), y = f2(x) і двома прямими x = a і x = b, то

 

19
S

(f2(x) - fi(x))dx,

 

якщо f2(x) > fi(x), для всіх x Є [a; b].

При цьому умова не­від'ємності функцій fi і f2 необов'язкова.Приклад 1. Знайти площу фігури, обмеженої параболою y = x2 + 1 i прямою x + y 3 = 0.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння