В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 97

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

А Маєм
j a(1 cost)a(1 cost)dt = a2 j (l cost)2dta2


2n

f (               1 + cos2t \                                 2/ 3 1

/ ^1—2cost+- 2--- Jdt =    21—2sint+^sin2t

0


2n


3na2. Нехай крива AB задана в полярних координатах рівнянням

р = p(p),    p Є [а; в],

E


193



причому функція р(р) неперервна і невід'ємна на відрізку [а; в]. Плоску фігуру, обмежену кривою AB і двома полярними радіусами, що утворюють з полярною віссю кути а і в, нази­ватимемо криволінійним сектором.Площа криволінійного сектора обчислюється за формулою

ІЗ

S = 2 J p2(p)dp.

а
2.6.2. Довжина дуги кривої. Під довжиною дуги (лінії

або кривої) AB розумітимемо границю, до якої прямує довжи­на ламаної, вписаної в цю дугу, коли число ланок ламаної необ­межено зростає, а довжина найбільшої ланки прямує до нуля.

Нехай дуга AB задана рівнянням y = f (x), x Є [a; b], де f і f1 -неперервні на [a; b] функції. Доведемо, що вона має скінченну довжину.

Розіб'ємо дугу AB точками A = Mo, Mi, М: і, Mi, Mn = B на n частин. Нехай координатами точки M: є x: й Уі = f(xi). Тоді довжина ланки M: i M: ламаної, вписаної в дугу

x

AB, дорівнює

Mi—iMi = \l(x% - x—i)2 + (yi - Уі_і)2 = ^(Axi)2 + (Ayi)2,

 

19де Axi = xi - xi_ i, Ayi = yi - Уі_і = f (xi) - f (x—i) = f'(&)Axi, £i є (x—i; xi), що випливає з теореми Лагранжа. Отже,

Mi—iMi = «у/1 + (f'(ii))2Axl. Тому довжина всієї ламаної дорівнює

n i=1

Вираз справа у цій рівності є інтегральною сумою для функції л/1 + (f '(x))2 на відрізку [a; b].

Якщо перейти до границі при A =    max   Axi 0, то

ie{1,...,n}

дістанемо формулу для обчислення довжини дуги AB:

b

l = j Vl + (f'(x))2dx. (21)
Приклад 6. Обчислити довжину дуги напівкубічної параболи = x3/2, якщо 0 < x < 5.

А Оскільки y' = 2x1/2, то

 

5    /      2          5 /         o

=91 (1+1 x)12 < 1+4 x) = +/Г

o

8 ( (     45 \3/2     \ 335

= 2j{{1 + t) -1) = ^'*

Якщо дуга AB кривої є графіком функції x = g(y), y є [c; d], то у випадку, коли g і g' - неперервні функції на [c; d], вона має

 

 

195довжину, яка знаходиться за формулою

d

і = j Vi + (g'(v))2dy.

c

При обчисленні довжини дуги у випадку, коли крива AB за­дана параметричними рівняннями x = p(t), y = ip(t), t Є [а; в], де а і в - значення параметра і, що відповідають значенням x = a і x = b, тобто p((i) = a, p{ft) = b, у формулі (21) треба зробити заміну змінної, поклавши x = p(t), dx = p'(t)dt. Тоді, отримаємо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння