В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 98

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

b Р,---------------------------------

l = j Vl + (y'(x))4x = j Jl + (1pJ||)2p'(t)dt =

 

 

V(p'(t))2 + mt))2 dt.

 

Приклад 7. Обчислити довжину дуги однієї арки циклоїди x = a(t sint), y = a(1 cost), t Є [0; 2п].

A Is рівняння циклоїди знаходимо p'(t) = a(1 cos t), ip'(t) = a sin t. Коли x пробігає відрізок [0; 2na], параметр t пробігає відрізок [0; 2п]. Отже, шукана довжина дуги дорівнює2п 2п

j y/(p'(t))2 + (Ф'(і))2dt = j ^a2(1  cost)2

0 0

2n 2n

2

0

= a f \/2  2 cos tdt = 2a J sin - dt = —4a cosЯкщо крива AB задана в полярних координатах рівнянням р = p(p), p Є [а; в], де p(p) має неперервну похідну p'(p) на відрізку [а; в] і точкам A і B відповідають значення а і в, то перейшовши від полярних координат до прямокутних, дістане­мо параметричне задання кривої AB рівняннями x = р cos p,

 

196у = р sin р з параметром р. Тоді

 

х'(р) = р'(р) cos р р(р) sin р,

у'(р) = р'(р) sin р + р(р) cos р і формула (21) набуде виглядуПриклад 8. Знайти довжину дуги кривої, заданої в полярних координатах рівнянням р = a(1 + cos р), a - деяке додатне число, р є [0;2тг].

А Для графічного зображення кривої розглянемо декілька то­чок на ній: (0;2a),       a), (п;0). При зміні р від 0 до п значення р

зменшується від 2a до 0. Оскільки cos р є парною функцією, то і р є парною. Це означає, що лінія симетрична відносно полярної осі.

Отже, маємо криву, що зображена нижче, яка називається кар­діоїдою. Згідно з формулою (22)
l = 2


2a

J \Ja? (1 + cos р)2 + a2 sin2 рд,р

 

j л/2(1 + cos р)<крcos— 3,р = 8a sin

22


8a. 2.6.3. Обчислення об'єму тіла за відомим попереч­ним перерізом. Аналогічно, як раніше було введено поняття площі плоскої фігури, вводиться поняття об'єму просторо­вого тіла, тобто обмеженої множини точок простору R3.

Зі шкільного курсу математики відомо, що об'єм V(P) мно-гокутної призми P дорівнює добутку площі S основи на висоту H, тобто V(P) = SH. Розглянемо довільне тіло Q простору R3

 

197і многокутні призми Р і Q такі, що Р С П С Q. Верхнім об'ємом V*(П) називається число V*(П) = inf V(Q), а ниж-

нім об'ємом V*(Q) = sup V(Р). Тіло П називається кубов-ним, якщо V*(П) = V*(Q), а це спільне значення називається об'ємом тіла П, тобто V(П) = V*(П) = V* (П). Кубовні тіла мають такі властивості:

1)  якщо Пі і П2 - кубовні тіла, то їхнє об'єднання П є так само кубовним, і якщо Пі і П2 не мають спільних внутрішніх точок, то V(П) = V(П1) + V(П2);

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння