В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 99

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

2)  переріз двох кубовних тіл є кубовним тілом;

3)  якщо при русі тіла Пі і П2 збігаються, то їхні об'єми однакові.

Клас кубовних тіл є достатньо широким. Деякі найвживані-ші кубовні тіла вивчатимемо нижче.

Розглянемо тіло П, площа поперечного перерізу якого є ві­домою функцією x. Під поперечним перерізом розумітимемо переріз тіла площиною, перпендикулярною осі Ox. Треба знай­ти об'єм V цього тіла. а

 

 

 

 

x

Якщо S(x) - площа поперечного перерізу цього тіла в точці x, то вважатимемо її неперервною функцією на [a; b].

Поділимо відрізок [a; b] на n частин точками a = xo, xi, ..

xn = b і через точки поділу проведемо площини, перпендику-

лярні осі Ox. У результаті тіло розіб'ється на n шарів, кожний з яких можна вважати за циліндр. При цьому важливо, щоб поперечні перерізи тіла містилися один в одному, а не наклада­лися. Оскільки об'єм г-го шару наближено дорівнює S(£j)Axj, де Ax^ = xi xi-1, & Є [xi-i; xi], то для об'єму V дістанемо

 

19наближене значення

V S(ti)Axi.

i=1

Справа в цьому виразі маємо інтегральну суму для функції S(x) на відрізку [a; b]. Якщо A =   max   Axi     0, то одержи-

ie{1,...,n}

мо, щ
S (&)Axi = j S(x)dx.i=1

Отже, тіло кубовне і
S(x)dx.
Розглянемо тепер задачу про знаходження об'єму тіла, утво­реного обертанням навколо осі Ox криволінійної трапеції aABb, обмеженої графіком невід'ємної функції y = f (x), x є [a; b], відріз­ком [a; b] осі Ox і прямими x = a і x = b (рис. 4). Очевидно, що S(x) = n(f (x))2.Тому об'єм тіла обертанняV = п j f 2(x)dx.


(23)Приклад 9. Знайти об'єм кулі радіуса R.\


y = л/ R2 x2


А Розглянемо кулю як тіло обер­тання навколо осі Ox півкруга радіу­са R з центром в початку координат. Згідно з формулою (23), маєм-R 0



R 3

п j (R2 x2)dx = п [r2x x-^j R


R199


R3


R3 3


+ R3


т)


4nR3 3 'Приклад 10. Знайти об'єм тіла обертання навколо осі Ox фі­гури, обмеженої лініями y = x2 i y = yfx (рис. 5).
У,

 

 

 

0


 

 

1

Рис. 5


 

1 2

y = x


 

 

x


< Шуканий об'єм тіла обертан­ня дорівнює різниці об'ємів, утворених обертанням криволінійних трапецій, об­межених зверху відповідно графіками функцій у = yfx і y = x2 (рис. 5).Межі інтегрування знайдемо, розв'язавши рівняння yfx = x2, корені якого xi =0, x2 = 1. Згідно з формулою (23)

1      1 11

v = ,jW^tb - .j(x2)4x = njx<b - .jji* ==


x5

5


=


3n 10'2.6.4. Деякі застосування визначеного інтеграла в прикладних задачах. Наведемо приклади застосування визначеного інтеграла в економіці та природознавстві.

2.6.4.1. В єкономічних дослідженнях часто розгляда­ють граничш величини, тобто для даної величини, визначе­ною деякою функцією y = f (x), x Є X, розглядають її похід­ну f'(x), x Є X. Наприклад, якщо f є функцією витрат, яка залежить від обсягу x товару, то граничні витрати визнача­тимуться похідною f'(x). Гї економічний зміст - це витрати на виробництво додаткової одиниці товару. У багатьох випадках треба знаходити функцію витрат за даною функцією гранич­них витрат.

Приклад 11. Відома функція граничних витрат f '(x) = 3x2 48x + 202, x Є [1;20]. Знайти функцію витрат f і обчислити витра­ти при випуску 10 одиниць товару, якщо витрати на виробництво першої одиниці товару становлять 100 грн.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння