Т В Клочко - Линейная алгебра сборник задач - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 

Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАЧ

Харьков - 2011

УДК 51-3:517.53(075.8)

ББК 22.161.5я73 + 32.973-018.2я73

П 18

Утверждено на заседании научно-методического совета Харьковского национального университета имени В.Н. Каразина (протокол № 1 от 28.01.2011).

Рецензенты:

кандитат физико-математических наук, доцент Каткова Ольга Михайловна.

Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина. кафедра теории функций и функционального анализа механико-математического факультета.

кандитат физико-математических наук, доцент Кондратьев Борис Викторович.

Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина. заведующий кафедрой высшей математики физического факультета

Линейная алгебра. Сборник задач: учебно-методическое пособие./ П 18    Составитель: Н.Д. Парфёнова. - X.: ХНУ имени В. Н. Каразина.

Данное пособие предназначено для студентов первого курса физического и радио­физического факультетов. Материал пособия разбит на темы, соответствующие темам практических занятий и даны задачи для аудиторной и домашней работы. Пособие яв­ляется сборником дополнительных задач к учебному пособию СН. Зиненко "Линейная алгебра" [1]. В процессе изучения курса "Линейная алгебра" студенты должны вы­полнить два ИДЗ (индивидуальных домашних задания) [2]. В пособии приведен текст (без числовых данных) условий этих заданий.

2011. - 40 с.

(с) Харьковский национальный университет

имени В. Н. Каразина, 2011 (с) Т. В. Клочко, Н. Д. Парфенова, 2011 (с) Макет обложки И. Н. Дончик, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

1. Линейные пространства: определение, примеры.

Линейно независимые системы векторов 5

2. Полные системы векторов. Базис, размерность, координаты. Изоморфные пространства 8

3. Подпространства. Сумма и пересечение

подпространств 9

4. Матрицы 13

5. Определители. 15

6. Системы линейных уравнений (метод Гаусса) 17

7. Приложения систем линейных уравнений 20

8. ИДЗ I 22

9. Линейные операторы и их матрицы в данном базисе.

Ядро и образ оператора. Обратный оператор 24

10. Матрица перехода к новому базису.

Обратный оператор 26

11. Собственные векторы и собственные значения оператора 27

12. Проекторы и спектральное разложение диагонализуемого опе­ратора 28

13. Унитарные и евклидовы пространства 30

14. Спектральное разложение самосопряженного

и унитарного оператора 32

15. Квадратичные формы 37

16. ИДЗ II 38 Список литературы 40

ВВЕДЕНИЕ

Можно ли сказать, что негативное прошлое неизбежно определяет наше будущее? Неужели учеба в похой школе, не давшей блестящих знаний, обрекает молодых людей? Неужели в 17 лет ничего уже невозможно изменить? Конечно же нет. Люди наделены свободой воли. Мы сами выбираем какой будет наша жизнь. Все преподаватели же­лают своим ученикам и студентам самого лучшего, поэтому хотели бы объяснить, как сделать правильный выбор. Трудно ли изучить, все что требуется для того, что бы стать специолистом в выбранной профессии? Ничего невозможного никогда не тре­буется. Все предъявлямые к студентам в процессе учебы и на экзамнах требования просты, разумны и всем по силам их выполнить.

Данное пособие предназначено для студентов первого курса физического и радио­физического факультетов. Материал пособия разбит на темы, соответствующие темам практических занятий и даны задачи для аудиторной и домашней работы. Пособие яв­ляется сборником дополнительных задач к учебному пособию С.Н. Зиненко "Линейная алгебра" [1] .

В процессе изучения курса "Линейная алгебра" студенты должны выполнить два ИДЗ (индивидуальных домашних задания) [2] . В пособии приведен текст (без число­вых данных) условий этих заданий.

В процессе подготовки данного пособия был использован многолетний опыт пре­подавания этого курса на физическом и радиофизическом факультетах Харьковского национального университета имени В.Н. Каразина и учебную литературу из списка в конце пособия.

Автор выражает свою искреннюю благодарность С.Н. Зиненко, Н.И. Познахаревой. С.С. Апостолову и рецензентам Б.В. Кондратьеву и О.М. Катковой за критические замечания и ценные рекомендации.

1.   Линейные пространства: определение, примеры. Линейно независимые системы векторов

Определение линейного пространства:

Множество L элементов любой природы называют линейным пространством (ЛП) над полем K, если

задано сложение элементов L, т.е. закон, по которому любым элементам x,y Є L ставится в соответствие элемент из L, называемый суммой элементов x и y и обозна­чаемый x0y:

задано умножение элемента на число (скаляр) а Є K, т.е. закон, по которому лю­бому элементу x Є L и любому числу а Є K ставится в соответствие элемент из L. называемый произведением элемента x на число а и обозначаемый aQx:

указанные законы (линейные операции) подчиняются следующим аксиомам линей­ного пространства:

© \x,y Є L x0y = y0x,

© \x,y,z Є L (x0y)0z = x0(y

© З 0 Є L \/x Є L x0O = x

x) L

x0

aQ(x0y

x)

0,

aQx0aQy. а + в )0x = aGx0f3 0x, в)0x = а00x), I0x = x.

(коммутативность сложения (ассоциативность сложения (определение нейтрального элемента (определение противоположного элемента (дистрибутивность сложения (дистрибутивность сложения (ассоциативность умножения на число (умножение на единицу поля

© \x Є L З(

© Є K \x,y Є L

© \а,в Є K \x Є L

© \а,в Є K \x Є L

© 1 Є K, \x Є L

Замечания:

1. Числовые поля: Q, R, C

(На них определены сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на 0) не выводящие из этого множества. Каждая операция над любыми двумя числами из этого множества даёт число из этого же множества.)

2. Линейное пространство над полем R = вещественное линейное пространство.

C

Для краткости, часто употребляют термин линейное пространство не уточненяя поле.

3. Обозначать сложение, умножение, ноль и противотоложный элемент в поле и в ЛП одинаковыми значками не вполне хорошо, но очень удобно! Все формулы обычной школьной алгебры, которые осмысленны в данной ситуации, оказываются верными. Поэтому 0, 0, (—x) и 0 будем использовать только на первых занятиях.

Образует ли линейное пространство над полем R множество L с указанными опе­рациями сложения и умножения на вещественное число (n Є N)?

(a) L = Pn = { множество многочленов с вещественными коэффициентами сте-

n

на число}.

(b) L = {множество многочленов с вещественными коэффициентами степени

n

ло}.

(c) L = { множество многочленов от x с вещественными коэффициентами сте-

пени не выше 5, у которых коэффициент при x3 равен 0 с обычными операциями сложения и умножения на число}.

(d) L = {множество столбцов с n вещественными различными элементами с по-

элементными операциями сложения и умножения на число}.

(e) L = R* = { множество положительных вещественных чисел, если сумму эле-

ментов x и y определить как их произведение x y, а произведение элемента x на вещественное число а как степень xa}.

(f) L = C[a,b] = { множество всех непрерывных функций на отрезке [a, b] с пото-

чечными операциями сложения и умножения на число}.

C

рациями сложения и умножения на комплексное число (n,m Є N)?

(a) L = Cn = {множество столб цов с n комплексными элементами с поэлемент-

ными операциями сложения и умножения на число}.

(b) L = Cmxn = {множество m х n матриц с комплексными элементами с поэле-

ментными операциями сложения и умножения на число}.

L

(a) {1,x,x2,...,xn},L = Pn.

(b) {1,x а, (x а)2,...,^ а)n},L = Pn.

(c) {1,x а, (x а)2,x2},L = P2.

(d) {x, 2x},L = C[aib].

(e) {cos(x), cos(2x), cos(3x)},L = C[o;n].

Домашнее задание 1.

RL

рациями сложения и умножения на вещественное число?

(a) L = Rn = {множество столб цов с n вещественными элементами с поэлемент­ными операциями сложения и умножения на число}.

L = { n

ма всех элементов равна 1, с поэлементными операциями сложения и

умножения на число}. L = { n

гу с поэлементными операциями сложения и умножения на число}. L = { x

x3

операциями сложения и умножения на число}.

(e) L = { множество функций вида A cos(x + а), где A и а произвольные ве-

щественные числа, с обычными операциями сложения и умножения на число}.

(f) L = C = { множество всех комплексных чисел с обычными операциями сло-

жения и умножения на вещественное число}.

1.5. Образует ли линейное пространство над полем C множество с указанными опе­рациями сложения и умножения на комплексное число?

L = { n

гу с поэлементными операциями сложения и умножения на число}.

L = { n

плексными элементами с поэлементными операциями сложения и умно­жения на число (матрица A = (aij)nxn называется симметричной, если A = AT, т.е. al3 = aji,i,j = 1,...,n)}.

L

(a) {x,x2, 2x(x + 3)},L = C[ci,b].

(b) {sin(x),sin(2x),sin(3x)},L =     \].

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 


Похожие статьи

Т В Клочко - Линейная алгебра сборник задач

Т В Клочко - Решение задач комплексного анализасредствами maple

Т В Клочко - Дослідження особливих розв'язків