Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 10

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Закон экстенсиональности воплощает принцип Лейбница [6, с. 194] о тождестве неразличимых: если нельзя указать никакого свойства Rk, по от­ношению к которому объекты x и y различны, то x и y тождественны. Если x и y — это один и тот же элемент, то любые свойства элементов x и y обязательно совпадут, откуда Rk (x) = Rk (y). С другой стороны, если x и y — различные эле­менты, то обязательно найдутся свойства, которые их «разделяют», то есть такие, что Rk (x) истинно, когда Rk(y) ложно, и наоборот, так что равенство

Rk (x) = Rk (y), будет иметь место не при любом Rk. Нам неизвестны такие литературные данные, в которых бы принцип Лейбница ставился под сом­нение. Не дает поводов к сомнению и обыденная практика мышления людей.

Можно ли предложить еще какие-нибудь пол­ные несократимые системы аксиом, задающие предикат равенства идей? На этот вопрос мы пока не можем ответить. Продвижение вперед по это­му направлению нам представляется важным. Мы располагаем лишь некоторыми «заготовками» на эту тему. Ниже приводятся четыре свойства преди­ката равенства, которые еще не удалось использо­вать в какой-нибудь полной несократимой системе аксиом:

VxVyVz(Dk (x, y) л Dk (x,z) з Dk (y,z)) =1, (3)

VxVy Vz(Dk (x, y )~(Dk (x, z)~ Dk (y, z))) = 1, (4)

VxVy(Dk (x, y)~ 3z(Dk (x, z) л Dk (y, z)) =1, (5)

VxVx1VyVy1(Dk (x, л лDk (л Dk (x1, y) з Dk (x, y)) = 1.

Знак 3 означает квантор существования.

Представляется интересным следующий воп­рос: можно ли образовать для предиката равенства полную систему из аксиом, не содержащих преди­катную переменную Rk ? Если бы это удалось сде­лать, то появилась бы возможность существенно сократить объем экспериментов, необходимых для обоснования наличия у испытуемого способности различать и отождествлять мысли. Если же будет доказано, что без предикатной переменной в ак­сиоматике равенства идей обойтись невозможно, то при этом мы кое-что узнаем о тех осложнениях, которые встают на пути исследований механизма интеллекта человека.

Поиск новых свойств предиката равенства идей интересен не только для образования новых пол­ных несократимых систем аксиом. Каждое такое свойство представляет собой постулат, допускаю­щий непосредственную проверку в эксперименте. Каждый же новый постулат выводит исследова­теля на какие-то неизвестные ранее факты, рас­ширяя его знания о проявлениях человеческого интеллекта. Кроме того, задание математических моделей интеллекта (в данном случае — модели ра­венства идей) избыточным числом постулатов дает возможность более надежно эти модели экспери­ментально обосновать.

Заметим, что непротиворечивость, полноту и независимость аксиом предиката равенства идей мы доказывали не вполне строго, поскольку вели рассуждения относительно одной модели {Sk, Dk) с фиксированным значением индекса k . На самом же деле имеется не одна модель равенства идей, ацелое их семейство. Разным значениям индекса k соответствуют, строго говоря, различные модели равенства идей. Какой же из этих моделей придет­ся воспользоваться на практике при исследовании интеллекта конкретного испытуемого, заранее неизвестно. Поэтому возникает необходимость строить аксиоматическую теорию сразу для всех возможных моделей равенства идей, а это требует обращения к методу математической индукции, без которой мы до сих пор обходились. Этот воп­рос по нашему мнению весьма важен, он нуждает­ся в специальной разработке.

Докажем методом математической индукции, что предикат Dk, определяемый законом экстен­сиональности (1), существует. Имеется в виду, что предикат Dk задан на декартовом квадрате мно­жества Ak = {a1, a2,..., ak}, содержащего k элемен­тов. Здесь Ak играет роль неполного множества идей N . При k =1 предикат Dk определяем ра­венством D1 (a1, a1). Если предикат Dk_1 уже оп­ределен, то предикат Dk определяем следующим образом. В случае, когда x, y e Ak_1, принимаем Dk(x,y) = Dk_1(x,y) и Dk (x,ak) = Dk_1 (ak,y) = °. В оставшемся случае полагаем Dk (ak, ak) = 1. Прове­ряем выполнение закона экстенсиональности (1) для так определенного предиката Dk. Для этого сначала убеждаемся в справедливости этого закона при k = 1. В данном случае переменные x и y урав­нения (1) принимают единственное значение a1 из множества A = {a1}. В роли значений переменной R1 могут выступать всего два предиката R \(a1) =0 и R"1(a1) = 1. Имеем: D1 (x,y)~VR1(R1(x)~R1(y)) = = D1 (a1,a1) ~(R\(a) ~R'M) л (R1" fa) ~R"1(a1))= = 1~(0~0)(1~1)=1~1 1=1. Таким образом, пре­дикат Dk, удовлетворяющий уравнению (1), при k = 1 существует.

Предположим теперь, что закон экстенсио­нальности выполняется для предиката Dk_1. Это означает, что для всех x, y e Ak_1 справедливо ра­венство

Dk _1 (x, y) ~ VRk _1 (Rk _1 (x) ~ Rk _1 (y)) = 1. (7) Фигурирующий в этом равенстве квантор об­щности распространяется на семейство Mk _1 всех предикатов, заданных на множестве Ak_1. Нам нужно доказать выполнение закона экстенсио­нальности для предиката Dk, то есть установить, что равенство

Dk (x, y)~ VRk (Rk (x)~ Rk (y)) = 1 (8) выполняется при любых x,y e Ak . В последнем равенстве квантор общности распространяется на семейство Mk всех предикатов, заданных на мно­жестве Ak.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа