Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 103

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Доказательство. Пусть z1, z2, ZєА. По теореме 7, имеем z1, Z2, ZєВ, а из леммы 5 получаем Т (z1+1, -, z1) = Т (z2 + 1, 1, z2) = 1 (г). Если выполнено усло­вие (а ), то, согласно (г) и определению (6 ), будем

иметь 7((zi+1)+(Z2+1), 1+1, Z) = 1, 7((Zi+Z2)+(1+1), 1+1, z) = 1. Полагая в лемме 5 х = z1+Z2, у = 1+1 и пользуясь аксиомой функциональности (8), из последнего условия получаем (а). С учетом фун­кциональности предиката S, выводим отсюда равносильность условий (а) и (а ). Предположим теперь, что выполнено условие (б ). Тогда из (г) и определения (7' ) получаем Т^+^^+^+М,

(Zi+1)1 + 1(Z2+1), Z) = 1, 7(ZiZ2+((Zi+Z2)+(1 + 1)), (z1+z2)+(1+1), z) = 1. Пользуясь леммой 5 (пола­гая в ней х = z1z2, у = (z1+z2)+(1+1)) и аксиомой функциональности (8), получаем (б). Учитывая функциональность предиката Р, приходим к вы­воду о равносильности условий (б) и (б ). Пусть, наконец, выполнено условие (в ). Тогда из (г) и определения (11) получаем (z1+1)+1< (z2+1)+1, < z2+(1+1), или (с учетом леммы 4) z1 < Z2 Отсюда и из теоремы о сравнимости рациональных чисел выводим равносильность условий (в) и (в ). Теорема доказана.

Определяем число нуль. Нулем называется лю­бой элементВ, такой что для любого хєA T(x, х,

0) = 1.

Теорема 24 (о существовании и единственности нуля). Существует единственный нуль.

Доказательство Выберем произвольный xєA. Тогда по аксиоме (8) существует, притом единс­твенный, элементВ, такой что T(x, x, 0). Пусть ує A и yФx. Существует элемент zє В, такой что T(y, y, z). Покажем, что z = 0. Действительно, из аксио­мы (10) следует существование uє В, такого что T(x, x, u) = T(y, у, u) = 1, поскольку x + у = у + x. В силу аксиомы (8), этот элемент единственный, то есть u = z = 0. Теорема доказана.

Теорема 25 (о свойствах нуля). Для любого xєB 1)

x+0 = x, 2) x0 = 0.

Доказательство. Выберем произвольно xєB и пусть T (у, z, x) = 1, где у, zєA. 1) Из T (у, у, 0) = = T(y, z, x) = 1 следует T+ у, у + z, 0 + x) = 1 (а). Поскольку y+(y+z) = (y+y)+z, то, в силу аксиомы (10), существует x^B, такой что T (у+у, y+z, x1) = T(y, z, x1)=1 (б). Используя аксиому (8), получим x1 = x, а из (а) и (б) следует 0 + x = x. 2) По опре­делению произведения рациональных чисел, из T (у, z, x) = T (у, у, 0) = 1 следует T(yy + zy, yy + zy, x0) = 1. Отсюда вытекает x0 = 0. Теорема доказана.

Определяем понятие противоположного числа. Числом, противоположным числу xєB, называется любой элемент є В, такой что x+(-x)=0.

Теорема 26 (о противоположном рациональном числе). Для любого xєB существует единственное противоположное число —еє В.

Доказательство. Выберем произвольно xєB, и пусть T(y, z, x)=1, где у, zєA. Обозначим через -x такой элемент из В, что T(z, у, -x)=1. Тогда вы­полняется условие T (y+z, z+y, x+(-x)), откуда следует, что x+(-x)=0. Если существует x^B, такой что x + x1 = 0, то (x + x1) + (-x) = 0 + (-x), (x+(-x))+x1 = -x, x1 = -x. Отсюда вытекает, что для любого xєB элемент -X определен единственным образом. Теорема доказана.Введение рациональных чисел не сопровожда­лось комментариями, поскольку оно осуществля­лось по той же методике, что и введение положи­тельных рациональных чисел. Различие состоит лишь в том, что теперь для дальнейшего расши­рения множества чисел используется не опера­ция умножения, а сложение. Рациональные числа определяются как значения функции t(x, у) = x-y, где x и y - положительные рациональные числа. Рациональное число z = x-y появляется в резуль­тате решения уравнения у + z = x или, что то же, уравнения T(x, y, z) = 1. Разности положительных рациональных чисел отождествляются по прави­лу: x-y = X-у равносильно x+y =X+у. Сложение и умножение рациональных чисел определяются равенствами: (x-y)+(x -y ) = (x+x )-(y+y ); (x-y) (X-y) = (xX+уУ) - (xy+yX). Порядок на множес­тве рациональных чисел определяется правилом: x-y<X равносильно x+y <X+у. Число 0 вводится равенством 0 = x-x, оно не зависит от выбора xє A. Все рациональные числа линейно упорядочены.

Далее понадобятся следующие леммы.

Лемма 6. Для любых z1, Z2єВ условия z2 < Z1 и BzєA Z1 = Z2+Z равносильны.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа