Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 104

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Доказательство. Пусть z1, z2єВ и z2 < Z1. Тогда существуют такие х1, у1, х2, у2 є А, что Т (х1, у1, z1) = = Т (х2, у2, z2) = 1 и х2+у1 < х1+у2. По лемме 3 су­ществует zєА, такой что х1+у2 = (х2+у1) + z, или, в силу коммутативности и ассоциативности сло­жения положительных рациональных чисел и леммы 4, х1+(у2+1) = (x2+(z+1)) + у1. Тогда из ак­сиомы равенства разностей следует Т(x2+(z+1), У2+1, zi) = Т (х1, у1, z1) = 1, а поскольку Т (х2, У2, Z2) = Т (z + 1, 1, z)=1, то z1 = Z2 + z. Пусть те­перь для некоторых z1, Z2єВ, zєА выполнено ус­ловие Z\=Z2+Z. Тогда существуют х1, у1, х2, у2 єА такие, что Т (х1, у1, z1) = Т(х2, у2, z2) = 7(z+1, 1, z) = = Т(х2 + (z+1), У2+1, Z1) = 1. Используя аксиому равенства разностей и лемму 3, получаем отсю­да   Х-+(у2+1) = 2+^+1))+У1,    Х-+У2 = 2і)+ Z,

х2+у1 < х1+у2, то есть z2 < z1. Лемма доказана.

Теорема 27 (о транзитивности отношения поряд­ка на множестве рациональных чисел). Для всех x, y, zє В из x < у, у < z следует x < z..

Доказательство. Пусть x, у, zє В и x < у, у < z. Тогда, по лемме 6, существуют такие u, vєA, что у = x + u, z = у + v. Отсюда и из теоремы об ассоци­ативности сложения рациональных чисел следует Z = (x + u) + v = x + (u + v). Снова используя лемму 6, получаем x < z. Теорема доказана.

Отношение нестрогого порядка для рациональ­ных чисел определяем условием Vx, ує В ((х < у) ~ ~((х<у) v (х=у))).

Теорема 28 (об упорядоченности множества раци­ональных чисел). Множество рациональных чисел с определенным на нем отношением нестрогого поряд­ка является цепью.

Доказательство. Отношение нестрогого порядка рефлексивно, так как для любого хєВ имеем х = х, а значит х < х. Доказываем антисимметричность это­го отношения. Пусть х, уєВ и одновременно х < у, у < х, то есть выполнены условия (х < у) v (х = у) и (у<х) v (у = х). Из теоремы о сравнимости рацио­нальных чисел следует, что такое возможно лишь в случае х = у. Поэтому нестрогий порядок обладает свойством антисимметричности. Свойство транзи­тивности нестрогого порядка выводится из преды­дущей теоремы с учетом того, что для любых x, y, zє В условие (х < у) л л(у = z) или (х = у) л (у < z) влечет х < z, а условие (х = у) л (у = z) влечет X = z. Наконец, для любых x, ує В всегда либо х = у, либо х < у, либо у < х (по теореме о сравнимости рацио­нальных чисел), и поэтому условие (х < у) v (у < х) выполнено. Теорема доказана.

Лемма 7. Для всех zєВ lz = z и (- 1)z = -z.

Доказательство. Для любого zє А существуют х, ує N, такие что R (x, y, z)=1. Тогда, в силу условия R (1, 1, 1)=1 и определения умножения, получаем R (lx, ly, lz) = 1, R (x, у, lz) = 1. По аксиоме (2), отсюда имеем lz = z. Пусть теперь zєВ, х, уєА и Т (x, y, z)=1. Тогда, в силу условия Т(1+1, 1, 1)=1 и определения умножения, получаем Т ((1+1+1у, (1+1+1 х, 1 z)=1. Используя равенство х +((1+1)у+ х1) = (1+1) х +(1+1)у = ((1+1)х+1у)+у, аксиомы функциональности (8) и равенства раз­ностей (10), получаем z = 1z. Доказываем вторую часть леммы. Для любого zєВ имеем z + (-1) Z = = (1 + (-1)) z = 0z = 0. По теореме о противопо­ложном рациональном числе, получаем отсюда (-1)z = -z. Лемма доказана.

Лемма 8. Для всех zєВ условия z > 0 (а), zєA (б) и (-z) < 0 (в) равносильны. Также равносильны усло­вия z< 0 (г) и (-z) > 0 (д).

Доказательство. В силу леммы 6, условие (а) рав­носильно условию В Zє A z = 0+Z, z = Z. Поэтому (а) и (б) равносильны. С другой стороны, по лем­ме 6, условие (в) выполняется тогда и только тогда, когда существует z є A, такой что (-z) + z = 0, то есть z = -(-z) = z и верно (а). Доказываем равно­сильность условий (г) и (д). Для любого zє В имеем Z + (-z) = 0, то есть z < 0 тогда и только тогда, когда -ZєA (в силу леммы 6), то есть когда -z > 0. Лемма доказана.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа