Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 11

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Каждому предикату Rk_1 (x), принадлежащему семейству Mk поставим в соответствие предикаты R \ (x) и R "k (x) из семейства Mk, определяя их следующим образом:

(9)

R k (x) =

R"k(x)=

0,           если x = ak,
Rk_1(x),
если xe Ak_1,

(10)

1,         если x = ak ,
Rk_1 (x), если xe Ak_1,

Класс всех предикатов вида (9) обозначим сим­волом M\, вида (10) символом M"k . Очевидно, что, вместе взятые, предикаты R\(x) и R"k(x) ис­черпывают все предикаты, которые можно задать на множестве Ak, иными словами, M \ U M "k = M \ . Сказанное позволяет записать следующее равенс­тво, справедливое при любых x, y e Mk :

VRk (Rk (x)~ Rk (y)) = (   л   (R \ (x)~

(11)

 

~ R\(y))) л (   л   (R"k(x)~ R"k (y))).

R "k eM "k

Доказываем, что при любых x, y e Ak — равенс­тво (8) справедливо. Если x = y = ak , то Dk(ak, ak) ~ ~ VRk (Rk (ak) ~ Rk (ak)) = 1~1=1, и равенство (8) вы­полняется. Пусть теперь x e Ak_1, a y = ak . Тогда Dk (x, ak )=0. Кроме того, по (9)-(11) имеем:

VRk (Rk(x)~ Rk(a)) = (   л   (R'k (x)~ R\(ak))) л

Rk eM k

л(   л   (R"k(x)~ R"k(ak))) = (    л    (Rk_1(x)~0)) л

R "keM "k                              Rk_1 eMk_1

л(    л    (Rk _1(x        = (    л    Rk _1(x)) л

Rk_1(x)Rk_1(x)=0.

Rk_1 eMk_1                   Rk_1 eMk_1

л(  л Rk_1(x))=

Rk_1eMk

Rk_1 eMk_1

Таким образом, и в этом случае равенство (8) вы­полняется.

При x = ak и y = Mk_1 справедливость равенства (8) доказывается аналогично. Осталось рассмот­реть случай, когда x, y e Ak_1. Теперь Dk (x, y) = = Dk _1 (x, y). Вместе с тем

VRk(Rk(x)~ Rk(y)) = (   л   (R'k(x)~ R'k(y))) л

 

(   л   (R "k (x)~ R "k (y))) = (   л   (Rk _1(x)~ Rk _1( y))) л

R "keM "k                          Rk _1 eMk _1

(   л   (Rk _1(x)~ Rk _1( y))) = (   л   (Rk _1(x)~ Rk _1( y)) =

Rk_1 eMk_1                         Rk_1 eMk_1

= VRk _1(Rk _1(x)~ Rk _1( y)). Итак, условие (8) мы привели к условию (7), которое верно по предположению. Мы доказали для любого k существование предиката Dk (x, y), являющегося решением уравнения (1). Другими словами, доказана непротиворечивость условия экстенсиональности для случая, когда переменные x и y заданы на произвольном конечном множес­тве Ak.

Докажемдлялюбого k единственностьпредиката Dk, заданного на множестве Ak х Ak и определяемо­го условием экстенсиональности (1). При k =1 име­ем: D1 (a1,a1) ~ VR (R1 (a1) ~ (R1 (a1)) = D1(a1,a1)~1 = = D1(a1,a1). Следовательно, согласно условию эк­стенсиональности, D1(a1,a1) = 1, и единственность предиката D1 обеспечена. Предположим теперь, что условие (7) определяет единственный преди­кат Dk_1 и выведем отсюда единственность пре­диката Dk, удовлетворяющего условию (8). Пусть x = y = ak . Тогда условие (8) определяет значение предиката Dk единственным образом. В самом деле, Dk (ak ,ak)~ VRk (Rk (ak)~ Rk (ak)) = Dk ,ak), поэтому Dk (ak ,ak) = 1.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа