Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 110

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Теорема 9 (о коммутативности сложения действи­тельных чисел). Для всех u, vєCu+v = v+u (а).

Доказательство. Выберем произвольно u, vє С. Используя лемму 3 и коммутативность сложения рациональных чисел, получаем цепочку равно­сильных для любого zєВ условий: L(z, u+v); Вх, у єB((z = х+у) лL(х, u) л L(y, v)); Вх, ує B((z = у+х) л л L(у, v) л L(x, u)); L(z, v+u). В силу аксиомы (6), получаем отсюда (а). Теорема доказана.

Число -uєR называется противоположным чис­лу uє R, если u+(-u) = 0.

Лемма 4. Для любых uєC и хєВ условия L(x, u) и х< u равносильны.

Доказательство. Заметим, что случай и є В был уже рассмотрен в теореме 2. Пусть для некоторых и є С, х є В выполнено условие L(x, u). Тогда, с од­ной стороны, невозможно х = u (в силу теоремы 2). С другой стороны, имеем L(x, u) л L(x, х), то есть

(L(x, u) з L(x, х)). Используя определение (8) и теорему о сравнимости действительных чисел, приходим к выводу х< u. Если же для иє С, хє В выполнено условие х< u, то, по определению (8), Vу є В (L (у, х) з L(f, u)), или Vу є В(— L(j^, u) з з L(f, x)), Vу є В(— L(f, u) з х < у). Но тогда вер­но L(x, u), поскольку в противном случае имеем Vу є В(— L(x, u) л — L(у, u) з х < u) и, по аксиоме (5), получаем х = u, что противоречит условию х < u. Лемма доказана.

Теорема 10 (о противоположном действительном числе). Для любого uє С существует, притом единс­твенное, противоположное число (-^є С.

Доказательство. Для произвольного иє С рассмот­рим множество Ми = В|— L(-z, и) л — (-z = и)}. Проверим, что Ми удовлетворяет всем посылкам аксиомы (7) действительных чисел. а) По аксиоме (2), существует ує В такой, что выполнено условие

L(j^, и). Если при этом оказалось, что у = и (это возможно, когда иєВ), то положим у = и+1. В ре­зультате получаем, что Вує В —L(^, и) л— (у = и). А поскольку для любого рационального числа у су­ществует противоположное ему число z = -у, то Bzє В L(-z, и) л — (-z = и), иными словами, множество Ми не пусто. б) Условие BzєВ Mu(z) выполнено, так как Вує В L(f, u) , или Bzє В L(-z, и). в) Для любых х, ує В условие Ми(х) л— Ми(у) влечет L(-x, и) л —(-Х = и) л (L(-y,u) v (-у = и)),(—L(-x,u) л L(-y,u))v v ( L(-x, и) л — (-Х = и) л (-у = и)). В силу акси­омы (3) и теоремы 2, получаем отсюда -у< -х, или (по лемме 2) х< у. г) Покажем, что для любого хє В условие Ми(х) влечет существование такого ує В, что Ми(у) л < у). Сначала рассмотрим случай иєВ. Из Ми(х) вытекает L(-x, и) л — (- х = и), или (по теореме 2) и< - х. В силу леммы 1, существует такой zє В, что и < z < - х. Полагая у = - z, получа­ем L(-y, и) л — (- у = и) л (- у< - х). Отсюда име­ем (по определению множества Ми и по лемме 2) Ми(у) л (х< у). Пусть теперь єВ). Если для неко­торого хєВ выполнено Ми(х), то имеем L(-x, и). Предположим, что не существует такого уєВ, что Ми(у) л (х< у). Тогда для любого у єВ условие —L(- у, и) влечет < у), (-у< - х) (по лемме 2), -х< - у. От­сюда имеем VуєВ (L(-x, и) л —L(-y, и) з < -у), или (по аксиоме (5)) = и, что противоречит ус­ловиям хє В и є В). Исходное предположение оказалось неверным. Поэтому Вує В (Ми(у) л х < у). Итак, множество Ми удовлетворяет всем посылкам аксиомы (7) действительных чисел. Поэтому сущес­твует, притом единственный!, vє С такой, что для любого хє В Ми(х) ~L(x, v). Пусть х, ує В и L(x, и) л л L(y, v). Поскольку L(y, v) ~ Ми(у), то имеем L(-y, и) л — (-у = и), или и< -у (в силу леммы 4 и теоремы 4). С другой стороны, L(x, и) влечет х< и (по лемме 4). Отсюда следует х< -у, то есть х+у<0, L(x+y, 0). Аналогично доказывается, что если х, ує В и L(x, и) л vL(y, v), то х+у > 0, или L(x+y, 0). Поэтому (в силу определения (9)) u+v = 0, то есть v = -и. Доказываем единственность противополож­ного числа. Пусть для некоторых и, v, wє С и+v = 0 и u+w = 0. Тогда u+v = u+w, v+(u+v) = v+(u+w), (v+u)+v = (v+u)+w, 0+v = 0+w, v = w (по теореме о сложении действительного числа с нулем). Теоре­ма доказана.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа