Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 116

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Теорема 17 (об упорядоченности множества дейс­твительных чисел). Множество действительных чисел с определенным на нем отношением нестрогого порядка является цепью.

Доказательство. Отношение нестрогого порядка рефлексивно, так как для любого uє C имеем u = u, а значит u < u. Доказываем антисимметричность это­го отношения. Пусть u, vє С и одновременно u < v, v < u, то есть выполнены условия (u < v) v (u = v) и (v < u) v (v = u). Из теоремы о сравнимости дейс­твительных чисел следует, что такое возможно лишь в случае u = v. Поэтому нестрогий порядок обладает свойством антисимметричности. Свойс­тво транзитивности нестрогого порядка выводится из теоремы 5 с учетом того, что для любых u, v, wє C условие (u<v) л (v = w) или (u = v) л (v < w) влечет u< w, а условие (u = v) л (v = w) влечет u = w. Нако­нец, по теореме о сравнимости действительных чи­сел, для любых u, vє С всегда либо u = v, либо u< v, либо v< u, и поэтому условие (u < v) v (v < u) выпол­нено. Теорема доказана.

Покажем теперь, что среди действительных чи­сел имеются такие, которые не являются рацио­нальными числами.

Лемма 18. При любом аєА уравнение хх = а имеет решение хє С.

Доказательство. Выберем произвольно ає А и рассмотрим множество М={уєВ|у< 0v уу< а}. По­кажем, что это множество удовлетворяет всем посылкам аксиомы (7) действительных чисел.

а)  Множество М не пусто, так как содержит 0.

б) Выбирая ує А так, чтобы выполнялось условие
а < у л1< у (например, полагая у = а+1), получа-
ем, по лемме 9 из части 2, что
а< уу, то есть М(у).

в)     Пусть z1, Z2єВ и выполнено условие
М
^л— М^2). Тогда имеем 0 < z2 л а < z2Z2 л
л
(z1< 0 v z1Z1< а). Если z1< 0, то сразу получаем z1<
z2 Если же z1z1< а (и 0< z1), то из условия а< z2z2 и
леммы 9 из части 2 следует
z1Z1< Z2Z2, Z1< Z2. г) Пусть
для некоторого
ує В верно М(у). Если у< 0, то доста-
точно заметить, что
М(0) = 1. Рассмотрим случай
0< у. Определим такой u
єА, чтобы удовлетворить
условию
(у+и)(у+и)< а. Так как уу< а, то L(yy, а)
(по лемме 4) и существует w
є А такой, что уу< w< а
(в силу аксиомы (4)). Выберем в качестве и мень-
шее из чисел 1 и (а +(—
w)) (у+у+1 +1)-1.Тогда будем
иметь (у+и)(у+и) =
уу+уи+уи+uu < уу+уи+уи+и =
= УУ+ (У+У+і)и<уу + (y+y+1)(a+(—w))(y+y+1 <
<
уу+ (а+ (—w)) = а+ (уу + (—w))< а. Здесь было ис-
пользовано очевидное условие у+у+1< у+у+1+1,
(у+у+1)(у+у+1+1)-1< 1. Полагая
z = у + и, получим
у<
z и МО). Все постілки аксиомы (7), таким обра-
зом, выполнены. Поэтому существует
хє С такой,
что для любого
уєВ М(у) ~ L(y, х). Пусть какие-то u,
vє А удовлетворяют условию L(u, х) л L(v, х). Тогда
uu< а л vv < а и если, например, и < v, то uv < vv< а,
то есть верно
L(uv, а). Пусть теперь для некоторых
и, v
є А имеем L(u, х) л —L(v, х). Тогда а< ии, а< vv и
если, например, и< v, то а< uu < uv, а значит— L(uv,
а). Из определения (10) предиката умножения вы-
водим, что
хх = а. Лемма доказана.

Лемма 19. Для любого z є А найдутся такие х, у є N, что zy = х (а).

Доказательство. Выберем произвольно zєА. По аксиоме (2) из части 2, существуют х, ує N такие, что R(x, у, z) = 1. Поскольку R(y, 1, у) = 1 (теорема 2 из части 2), то, по определению умножения поло­жительных рациональных чисел, имеем R(xy, yl, zy) = 1 (б). Тогда из условий (б), R(x, 1, х) = 1, (ху)1 = х(у1) и аксиом (2), (4) положительных ра­циональных чисел (в части 2 настоящей работы) выводим (а). Лемма доказана.

Теорема 18. Существует действительное число, не принадлежащее множеству рациональных чисел.

Доказательство. По лемме 18, найдется такой хє С, х> 0, который удовлетворяет условию хх=1 +1(а). Предположим, что хє А. Тогда, в силу леммы 19, существует такой qєN, что хqєN (б). Выбе­рем среди всех натуральных q, удовлетворяющих условию (б), наименьшее (это можно сделать, по лемме 2 из части 2). Обозначим xq=р. Тогда рр=^)^)=(хх)^)=(1+1)^), то есть qq+qq = рр (в). Поскольку q< q+q, то из (в) получаем q< р< q+q и р+(— q) < q. С другой стороны, непосредствен­ной проверкой из (а), (б) и (в) выводим условие хх(р+ (— q))^ +(— q)) = (q+q +(— р))^+ (— р)). Поэтому х(р+ (— q)) = q+q+ (—р), и q не есть ми­нимальное натуральное число, удовлетворяющее условию (б). Получили противоречие с исходным предположением о том, что х — рациональное чис­ло. Теорема доказана.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа