Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 17

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

V£(M*(£) з (Р(£)~ P3(£))) = 1. (б)Из (а) и (б) следует M1 = M3.

Мы показали, что отношение конгруэнции мо­делей есть эквивалентность. Оно разбивает мно­жество всех моделей L на смежные классы [5, с. 23]. Все модели, содержащиеся в одном смежном клас­се, задают одно и то же поведение испытуемо­го. Именно смежный класс, а не содержащиеся в нем модели, адекватно характеризует частичный предикат, реализуемый испытуемым в серии экс­периментов. Выбирая каким-нибудь способом по одной модели из каждого класса, можно исполь­зовать такие модели (назовем их стандартными) в качестве адекватной математической характе­ристики поведения испытуемого. Одинаковым стандартным моделям соответствуют одинаковые частичные предикаты, реализуемые испытуемым в серии опытов, разным — различные.

Имеется и другая несогласованность между мо­делью и описываемым ею фактическим поведени­ем испытуемого. В любой модели, независимо от того, к какой серии экспериментов она относится, всегда фигурируют n переменных. Реальное же число идей r в наборах, которые исследователь предъявляет испытуемому, совсем другое, оно всегда меньше n и может изменяться при пере­ходе от одной серии опытов к другой. Реакция ис­пытуемого всегда однозначно определяется этими r идеями. Так, например в опытах с установле­нием равенства и неравенства идей фактически используются только две переменные, а в опытах по изучению дизъюнктивной связи между идеями реально участвуют три переменные. Переменные, которые не используются в данной серии опытов, естественно рассматривать как несущественные для модели, соответствующей этим опытам. Не­существенные переменные модели содержательно можно интерпретировать как факторы, которые не влияют на реакцию испытуемого в соответствую­щей серии экспериментов.

Дадим формальное определение понятия несу­щественной переменной модели. Переменную xt называем несущественной относительно модели (M, P), если для всех наборов (x1, x2,..., xn) eM при произвольной фиксации переменных x1, x2,

х{-1, х{+1,..., xn значения предиката P не зависят от значений переменной xt. Математически это условие можно записать в виде следующего логи­ческого уравнения:

Vx1Vx2...Vxi _1Vx/ Vx/'Vxi+1 ...Vxn (M *(x1, x2,..., xt _1, x't, x,+1,..., xn) л aM *(x1, x2,..., x _1, x' x,+1,..., xn) з (3)

3 (P (x1, x2,..., xi     xi , xixn ) ~ ~ P(x1,x2,...,X,_1,x',X,+1,...,xn))) = 1.

Переменную x1 будем называть существенной относительно модели (M, P), если последняя не удовлетворяет условию (3). Вводя обозначения (x1,x2,...,х{_1,х/,х{xn) = £', можем переписать условие (3) в более компактной форме:

V£'V£"(M*(£') л M*(£") з (4)
з (P(£')- P(£"))) = 1.                                ( )

Рассмотрим операцию нормализации модели, за­данную на множестве всех моделей L и принима­ющую значения в том же множестве. По определе­нию операция нормализации ставит в соответствие модели (M, P) модель , M* л P^j. Модель N = F(M), получаемая в результате выполнения операции нормализации F над моделью M, назо­вем нормальным образом модели M. Справедливо следующее утверждение: две модели M = (M, и M2 = (M, P2) конгруэнтны в том и только в том случае, если их нормальные образы совпадают, то есть если F(M1) = F(M2). Действительно, при лю­бом £eAn

M * (£)P (£) ~ M * (£)P (£) = M *(£)Р(£) M *(£)P2(£) v vM*(£)P(£) M*(£)P2(£) = (M(£) v Ш)) (M"(£) v v P(£)) v M*(£)P(£)P2(£) = M"(£)v P1(£)P2(£) v vM*(£)P(£)P(£) = M"(£)v P»(£)P2(£)v P(£)P(£) = = M"(£) з P(£)~ P2(£)).

Полученное равенство означает, что условие M*P1 = M*P2 равносильно условию (2).

При переходе от исходной модели (M, P) к ее нормальному образу (M, P') носитель модели со­храняется, а предикат P заменяется предикатом

P' = M*P. (5)

Предикат P' внутри области M сохраняет зна­чения предиката P , за пределами области M он принимает только нулевые значения. Можно было бы, переходя к нормальному образу модели, при­писать предикату P' за пределами области M еди­ничные значения. В этом случае мы бы фактически воспользовались другим, двойственным первому, определением нормального образа модели, при котором принимается P' = M* v P. Эту возмож­ность мы здесь оставим нереализованной. Нор­мальный образ N модели M можно использовать в роли стандартной модели, характеризующей весь класс конгруэнтных моделей, к которому модель M принадлежит. В дальнейшем мы, как правило, будем иметь дело не с самими классами конгруэн­тных моделей, а с их представителями — стандар­тными моделями, содержащимися в этих классах, пользуясь тем, что в каждом классе конгруэнтных моделей содержится ровно по одной стандартной модели.

Научившись переходить к нормальным образам любых моделей, мы тем самым получаем практи­ческую процедуру, с помощью которой решаетсявопрос о конгруэнтности любых моделей. Если две модели имеют одинаковые нормальные образы, то они конгруэнтны, если же нормальные образы различны, то исходные модели неконгруэнтны. Важно уметь решать и обратную задачу: по данной стандартной модели найти весь класс конгруэнт­ных ей моделей. Эта задача сводится к отысканию общего решения уравнения (5) относительно пре­дикатной переменной P . Оно выражается в следу­ющем виде:

P = P V M'C, (6) где C — произвольный предикат, заданный на An. Согласно (6) для всех £ e M значения предиката P(£) совпадают со значениями предиката P'(£). За пределами же области M значения предиката P могут выбираться произвольно.

Справедливость равенства (6) обосновывает Теорема 1. Пусть a и b — булевы константы, удовлетворящие условию

ab = b. (а)

Тогда уравнение

ax = b (б)

имеет относительно булевой переменной E следу­ющее общее решение:

х = b v ac. (в)

Символом c обозначена произвольная булева константа. При невыполнении условия (а) уравне­ние (б) решений не имеет.

Доказательство. Подставляя (в) в (б), с учетом (а) получаем тождество, поскольку

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа