Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 23

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Мы получили, что при любых x, y, z єS1, (x v y) v z = x v (y v z).

Проверяем аксиому нуля. В роли нуля алгебры L берем символ 0. Это мы имеем право сделать, поскольку для символа 0 аксиома нуля выполняет­ся. В самом деле: 0 v 0=0, 0 v e1 = e1. Это означает, что при любом x єS1 0 v x = x . Проверяем аксио­му одномерности. В роли базисного элемента ал­гебры L принимаем символ e1 .Элемент e1 — не­нулевой, поскольку он не удовлетворяет аксиоме нуля: e1 v 0 = e1, следовательно, e1 v 0 ф 0. Все эле­менты множества S1 выражаются через базисный и нулевой элементы с помощью операции v , т.к. 0=0 v 0, e1 = 0 v e1. Итак, аксиома одномерности в алгебре L выполняется. Как видим, построенная нами при k =1 алгебра L есть алгебра идей раз­мерности 1. Следовательно, одномерная алгебра идей существует.

Предположим теперь, что уже построена алгеб­ра Lk_1, и сконструируем на ее основе алгебру Lk . В роли носителя алгебры Lk_1 используется мно­жество Sk_1, состоящее из 2k 1 различных симво­лов. Пусть в алгебре Lk_1 роль нулевого элемента выполняет символ 0, а в качестве базисных элемен­тов выступают не совпадающие с нулем различные символы e1, e2,..., ek _1. Полагаем, кроме того, что в алгебре Lk_1 задана двуместная операция v дизъ­юнкции элементов множества Sk_1, значениями которой служат элементы того же множества. Име­ется в виду, что операция v идемпотентна и ассо­циативна, а также удовлетворяет аксиомам нуля и (k -1)-мерности.

В роли носителя алгебры Lk берем множество Sk, которое формируется следующим образом. Во-первых, включаем в его состав 2k 1 символов, образующих множества Sk_1. Во-вторых, включа­ем в состав множества Sk символ ek , отличающий­ся от любого элемента множества Sk_1. В-третьих, включаем в состав множества Sk всевозможные символы вида xek , где x — произвольный ненуле­вой элемент множества Sk_1. Символ xek представ­ляет собой последовательность символов x и ek . Каждый из 2k 1 -1 символов вида xek отличается от всех других элементов множества Sk. Действи­тельно, символы xek и yek , различны. Каждый из символов вида xek отличается от любого символа из множества Sk _1 наличием в его составе символа ek , стоящего справа. От символа же ek каждый из символов вида xek отличается наличием левой час­ти x . Таким образом, множество Sk составлено из 2k различных символов. Полагаем, что в алгебре Lk роль нулевого элемента выполняет символ 0, а в качестве базисных элементов используются сим­волы e1, e2,..., ek .

Операцию дизъюнкции элементов в алгебре Lk определяем следующим образом. В качестве логической суммы z = x v y любых двух символов x, y є Sk_1 берем символ z є Sk_1, получаемый в ал­гебре Lk _1 в результате выполнения операции ди­зъюнкции символов x и y . Дизъюнкцию символа ek с самим собой задаем правилом ek v ek = ek (1), с символом 0 — правилами 0 v ek = ek v 0 = ek (2, 3), с любым ненулевым элементом x є Sk_1 прави­лами x v ek = ek v x = xek (4, 5), с любым элемен­том вида xek — правилами ek v xek = xek v ek = xek (6, 7). Дизъюнкцию произвольного символа x єSk_1 с символом вида yek задаем правилами x v yek = yek v x = (x v y)ek (8, 9) Наконец, дизъюн­кцию любых символов вида xek и yek определяем правилом xek v yek = (x v y)ek (10).

Итак, мы полностью построили алгебру Lk. Осталось показать, что введенная в ней операция дизъюнкции обладает свойствами идемпотентнос­ти, коммутативности и ассоциативности, а также удовлетворяет аксиомам нуля и k -мерности. Про­веряем идемпотентность дизъюнкции. Для любого элемента x є Sk_1, согласно свойству идемпотент­ности операции v в алгебре Lk_1, имеем x v x = x . Для символа ek по правилу (1) имеем ek v ek = ek . Для любого символа вида xek , согласно правилу (10) и аксиоме идемпотентности в алгебре Lk_1, получаем xek v xek = (x v x)ek = xek.

Проверяем коммутативность. Для любых x, y є Sk_1 равенство x v y = y v x имеет место вви­ду коммутативности дизъюнкции в алгебре Lk_1. В случае, когда одно из слагаемых x есть эле­мент из Sk_1, а другое — символ ek, коммутатив­ность вытекает из равенств (2)-(5): если x =0, то x v ek = 0 v ek = ek = ek v 0 = ek v x; если же x ф 0, то

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа