Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 27

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

= ek v(x v yК = ek v (xek v y), (xek v ek) v y = xek v y = (x v y)ek =

= xek v yek = xek v (ek v y).

Проверяем аксиому нуля. Для любого x є Sk_1, согласно аксиоме нуля в алгебре Lk_1, имеем 0 v x = x. Для символа ek по правилу (2) имеем 0 v ek = ek . Для любого символа вида xek , согласно правилу (8) и аксиоме нуля в алгебре Lk_1, полу­чаем: 0 v xek = (0 v x) ek = xek . Проверяем аксиому k -мерности. По индуктивному предположению для всех x є Sk_1 аксиома (k _ 1) -мерности выпол-няется.Следовательно,всеэлементымножества Sk, принадлежащие вместе с тем и множеству Sk_1, можно получить из базисного и нулевого элемен­тов алгебры Lk _1 (а значит, из базисных и нулевого элементов алгебр Lk) с помощью операции дизъ­юнкции. Элемент ek выражается в виде ek = 0 v ek. Остальные элементы множества Sk имеют вид xek, где x єSk_1. Все они выражаются, согласно (4), в виде xek = x v ek. Итак, мы убедились в том, что введенная в алгебре Lk , операция дизъюнкции об­ладает свойством идемпотентности, коммутатив­ности и ассоциативности, а также удовлетворяет аксиомам нуля и k -мерности. Следовательно, те­орема доказана.

При доказательстве теоремы о существовании алгебр идей нам пришлось построить ряд конкрет­ных алгебр идей LX,L2L,.... Эти алгебры будем на­зывать каноническими алгебрами идей. Носителем канонической алгебры идей Ln служит множес­тво Sn, образованное из всевозможных символов вида 0,e1,e2,...,en, а также из всевозможных симво­ле» вида eh,eh,...,ep , где  e;.1,e(2,...,e^p є {e1,e2,...,en},

i1 < i2 <... < ip , 2 < p < n. Каждый такой символ пред­ставляет собой последовательность, составленную из двух или более (не обязательно всех) символов, называемых базисными, которые расположены в порядке возрастания их номеров. Любой из базис­ных символов может входить в последовательность ei1,ei2,...,ei не более одного раза. Например, мно­жество S1 состоит из двух символов 0 и e1, мно­жество S2 — из четырех символов 0,e1,e2,e1e2, мно­жество S3 — из восьми символов 0, e1, e2, e1e2, e3, e1e3, e2e3, e1,e2,e3. Множество Sn состоит из 2n символов.

В канонической алгебре идей Ln операция дизъюнкции определена следующим образом. Дизъюнкция любого элемента x с нулем дает в результате элемент x . Например, 0 v e1e2 = e1e2, e2e3e4 v 0 = e2e3e4. Логическая сумма z = x v y любых ненулевых элементов x = ei1 ,ei2,...,ei и y = eh,eh,...,ep (p,^ є{1,2,...,п}) формирует­ся по следующему правилу: z = ek ,ek     ek , где

{ek1 ,ek2,...,ekr } = І1 І2 ,...,Єір } U {ej1 ,Є^Єір } .   Г Для

получения логической суммы z = x v y по это­му правилу нужно выбрать из обоих слагаемых x = e, ,e, ,...,e,- и y = e, ,e, ,...,e; все входящие в них базисные символ^і e, ,e, e, , e, ,e> e, и соста­вить из них последовательность z = ek1 ,ek2,...,ek , не допуская в ней повторений базисных элемен­
тов и располагая базисные символы в порядке возрастания их номеров. Например, e4 v e1 = e1e4,

Є1Є2 v Є1 = Є1Є2 ,  Є2Є3 v Є1Є3Є4 = Є1Є2Є3Є4 .

Элементы множества Sn канонической алгеб­ры идей Ln можно естественным образом распо­ложить в ряд. Начинаем этот ряд символом 0, пос­ле него помещаем символ e1. Это — первый шаг, в результате которого получаем 2 = 21 члена ряда. На втором шаге получаем еще два члена ряда, форми­руя их из членов ряда, полученных на первом шаге: 0 заменяем на символ e2, а к символу e1 дописы­ваем справа символ e2. В результате имеем уже 22 членов ряда: 0,e1,e2,e1e2. На третьем шаге получаем еще 22 членов ряда, формируя их из элементов уже имеющегося отрезка ряда: 0 заменяем символом e3, а остальные члены ряда получаем дописывани­ем справа символа e3 к последующим членам уже имеющегося отрезка ряда. В результате имеем уже 23 членов ряда: 0, e1, e2, e1e2, e3, e1e3, e2e3, e1,e2,e3. Процесс построения ряда продолжаем аналогич­ным образом. На n -ом шаге формируем 2n1 эле­ментов, заменяя в уже имеющемся отрезке ряда 0 на символ en и дописывая справа символ en к ос­тальным членам ряда. В результате получаем иско­мый ряд элементов множества Sn, состоящий из 2n элементов.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа