Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 28

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Пронумеруем элементы множества Sn в том по­рядке, в каком они располагаются в построенном нами ряду. Нулевому символу присваиваем номер 0, элементу e1 — номер 1 и т.д. От каждого элемента нетрудно перейти к его порядковому номеру. Для этого символ e1 снабжен весовым коэффициентом 20, символ e2 — коэффициентом 21, символ en — весовым коэффициентом 2n1. Тогда произволь­ному элементу ei1 ,е2 ,...,ei соответствует порядко­вый номер

2і1 _1 + 2і2 _1 +... + 2ip _1,

представляющий собой сумму весовых коэффици­ентов всех символов, составляющих этот элемент. Например, элемент e2,e4,e7 имеет номер

22_1 + 24_1 + 27_1 = 2 + 8 + 32 = 42.

Нетрудно также от заданного номера N перейти к соответствующему ему элементу множества Sn. Для этого нужно перевести число N в двоичный

код an,an_1,...,a2,a1. Здесь a1,a2,...,an_1,an дво­ичные цифры 0 или 1. Элемент множества Sn с но­мером N строим по следующему правилу. Если в двоичном коде числа N а, = 1 = 1,2,...,n), то сим­вол е, включается в последовательность еІ1, еІ2ep , представляющую искомый элемент. Если же а, = 0 , то символ е, в состав элемента е ,е е; не включается. К примеру, отыщем элемент, соот­ветствующий номеру 154. Переводя число 154 из десятичной системы в двоичную, получаем двоич­ный код 10011010. В нем единицы стоят на втором, четвертом, пятом и восьмом местах (считая справа налево). Искомый элемент имеет вид е2е4е5е8.

Важно отметить, что если какой-либо элемент принадлежит множеству S,, то он принадлежит также и всем множествам S,+1, S,+2,...(, = 1,2,...) большей размерности. Например, элемент е1е2, входящий в состав множества S3, входит также и в множество S3. Номер любого элемента остается одним и тем же вне зависимости от того, в составе какой алгебры L он рассматривается. Например, в алгебрах L2 и L3 элемент е1е2 имеет один и тот же номер 3. Логическая сумма x v y любых двух слагаемых x и y (а также ее номер) будет одной и той же во всех алгебрах, где имеются элементы x, y и x v y. Все сказанное приводит к выводу, что при любых , < J J є {1,2,...}) алгебра Lj является просто расширением алгебры L{. Иначе говоря, алгебра L{ является подалгеброй алгебры Lj . Име­ет место вложение любой канонической алгебры меньшей размерности в каноническую алгебру большей размерности. Поэтому можно иметь дело всего лишь с одной алгеброй идей Ln, размерность n которой выбрана остаточно большой с таким расчетом, чтобы все нужные нам алгебры идей ока­зались фрагментами алгебры Ln. Алгебру идей Ln, обладающую таким свойством, назовем универ­сальной канонической алгеброй идей.

Для примера в таблице 1 представлены значе­ния операции дизъюнкции x v y в алгебре L3.

2)
Таблица 1Новые строки и столбцы помечаем элемента­ми множества S,+1, отсутствующими в множестве S. Располагаем эти элементы в порядке роста их номеров.

3) Ячейки верхней правой четверти таблицы заполняем, приписывая справа символ е,+1 к эле­ментам, расположенным на соответствующих мес­тах верхней левой четверти таблицы. Исключение составляет лишь верхняя левая ячейка, в которую следует занести символ et+1.

4) Остальные две четверти таблицы (нижнюю левую и нижнюю правую) заполняем точно так же, как и верхнюю правую четверть таблицы.

3. Изоморфизм алгебр идей

Рассмотренные в предыдущей части работы ка­нонические алгебры идей являются конкретным случаем алгебры идей. Теперь мы снова возвратим­ся к изучению алгебр идей в абстрактном их пони­мании. Для обозначения n -мерных идей алгебры Ln вводим формулы алгебры идей Ln. Формулы будем строить из символов 0, е1, е2,..., еп, обознача­ющих образующие идеи алгебры Ln, символа v , обозначающего операцию дизъюнкции алгебры Ln, и двух вспомогательных символов — скобок ( и ). Символы 0, е1, е2,..., еп будут называть образую -щими символами алгебры Ln, а символы е1, е2,..., en базисными символами алгебры Ln. Любые конеч­ные последовательности введенных символов бу­дем называть выражениями алгебры Ln.

Понятие формулы определяем индуктивно с помощью порождающей процедуры, основан­ной на следующих двух правилах. 1) Все образу­ющие символы называем формулами алгебры Ln. 2) Если выражения A и B — формулы алгебры Ln, то выражение (A v B) называем формулой алгебры Ln. Будем считать, что формула (A v B) обозначает идею, получаемую в результате дизъюнкции идей, обозначенных формулами A и B. Нетрудно ви­деть, что введенные формулы представляют собой графическое изображение всевозможных спосо­бов получения идей в алгебре Ln. Из аксиомы n -мерности следует, что для каждой идеи алгебры Ln найдется хотя бы одна обозначающая ее формула. Это означает, что язык формул логической алгеб­ры Ln при любом nє{1,2,...} полон. Отметим, что выражения и формулы алгебры идей Ln являются вместе с тем выражениями и формулами любых ал­гебр идей Ln+1 , Ln+2,... большей размерности.

Рассмотрим примеры образования формул ал­гебры идей. Берем трехмерную алгебру идей. В роли символов е1, е2, е3 используем в ней буквы a,b,c. По правилу 1) образуем формулу (0 v b), из формул c и (0 v b) образуем формулу (c v (0 v b)), из формул (0 v b) и b образуем формулу ((0 v b) v b), из фор­мул (c v (0 v b)) и ((0 v b) v b) образуем формулу ((c v (0 v b)) v ((0 v b) v b)). Итак, мы построили ряд все более удлиняющихся формул: 0,b,c, (0 v b), (c v (0 v b)), ((0 v b) v b), ((c v (0 v b)) v ((0 v b) v b)).

Формулы, обозначающие одну и ту же идею, назовем тождественными формулами. Из аксиомы ассоциативности следует, что все формулы, отли­чающиеся друг от друга лишь положением име­ющихся в них скобок, тождественны. Например, формулы

((cv(0vb))v((0vb)vb)), ((((cv(0vb)v0)v(bvb)), ((cv0)v(((bv0)vb)vb))

тождественны друг другу. В связи с этим появляется возможность выбросить из формулы все скобки и записывать любые идеи в виде выражений более простых, чем формулы. Выражения получаемые из формул исключением всех скобок, будем называть бесскобочными формами. Например, всем трем толь­ко что записанным формулам соответствует одна и та же бесскобочная форма c v 0 v b v 0 v b v b .

Далее, из аксиомы коммутативности вытека­ет возможность сузить класс бесскобочных форм для обозначения всех идей, оставив лишь те из них, у которых образующие символы следуют в по­рядке 0,e1,e2,...,en. К примеру, одну и ту же идею, представленную тремя различными скобочными формами c v 0 v b v 0 v b v b , b v b v 0 v b v 0 v c и 0 v c v 0 v b v b v b , можно записать единственной формой 0 v 0 v b v b v b v c . Кроме того, основы­ваясь на аксиоме идемпотентности, можно уп­ростить запись идеи, оставляя в обозначающей ее бесскобочной форме лишь по одному вхождению образующего символа. Например, идею, записан­ную в форме 0 v 0 v b v b v b v c , можно представить более короткой бесскобочной формой 0 v b v c. Наконец, из аксиомы нуля вытекает возможность еще большего упрощения представления идей: из любой бесскобочной формы, кроме формулы 0, можно исключить символ 0, если он там имеется. К примеру, идея, представленная формой 0 v b v c, после выбрасывания из этой формы символа 0 за­пишется более экономной бесскобочной формой b v c .

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа