Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 29

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Формулу 0 и все бесскобочные формы, в кото­рые не входит символ 0, а базисные символы вхо­дят не более, чем по одному разу и расположены в порядке роста их номеров, будем называть стан­дартными формами идей. Формулу 0 будем назы­вать нулевой стандартной формой. Ниже приводит­ся теорема о стандартной форме.

Теорема 2. Для каждой идеи алгебры Ln (n = 1,2,...) существует единственная стандартная форма.

Доказательство. Существование. Каждая не­нулевая стандартная форма алгебры Ln име­ет вид е,1 vе2 v...vet , где ,1,,2,,p є {1,2,...,n}, ,1 < ,2 <... < , p < n. Как было сказано ранее, для каждой идеи алгебры Ln найдется хотя бы однаобозначающая ее формула. Вместе с тем, только что было установлено, что для каждой формулы A алгебры идей Ln существует стандартная фор­ма, обозначающая ту же идею, что и формула A . Таким образом, любую идею алгебры Ln можно представить в стандартной форме.

Единственность. Пусть A = vе,2 v...vep произвольно выбранная ненулевая стандартная форма. Множество EA = {е,1,е,2,...,е, } всех базис­ных символов, присутствующих в форме A назовем ядром ненулевой стандартной формы A . Ядром нуле­вой стандартной формы 0 назовем пустое множес­тво 0 . Ядро каждой стандартной формы является одним из подмножеств множества Bn = {е1, е2,..., en}. Каждому подмножеству множества Bn соответс­твует своя стандартная форма. Таким образом, между стандартными формами и подмножествами множества Bn имеет место взаимное однозначное соответствие. Всего имеется 2n подмножеств мно­жества Bn. Следовательно, всего существует 2n различных стандартных форм. С другой стороны, множество Bn состоит из 2n различных идей ал­гебры Ln. Таким образом, каждой идее алгебры Ln соответствует единственная стандартная форма. Теорема доказана.

Ниже формулируется и доказывается теорема об изоморфизме алгебр идей.

Теорема 3. Все алгебры идей размерности n (n є {1,2,...}) изоморфны друг другу.

Доказательство. Только что было доказано, что каждой стандартной форме и ее ядру соответствует своя идея алгебры Ln. Следовательно, каждой идее x єLn соответствует свое подмножество Ex базиса Bn. Множество Ex будем называть ядром идеи x . Обозначим через Cn систему всех подмножеств ба­зиса Bn. Существует биекция О: Sn Cn, которая ставит в соответствие каждой идее x єLn ее ядро Ex є Cx , так что Ex = 0(x).

Докажем, что любая алгебра идей размернос­ти n изоморфна канонической алгебре идей Ln той же размерности. Все символы, относящиеся к алгебре Ln, будем записывать тонким шрифтом, а символы относящиеся к алгебре Ln — жирным. Введем биекцию Ф: Sn Sn, определив ее сле­дующим образом:  Ф(0) = 0 ,  Ф(е^ vе,2 v... vep ) =

= ei ei ...e, . Имеем:

,1 ,2 ,p

Ф(0 v 0) = Ф (0) = 0 = 0 v 0 = Ф (0) v Ф(0), Ф(0 v К v е,2 v... v ep)) = Ф(е,1 v e,2 v... v ep) =

= e4 e,2...e,p = 0 v e4 V"^ = Ф(0) v^eh v eh v... v eh ^ Ф((е,1 v e,2 v... v ep) v 0) = Ф(е,1 v e,2 v... v ep) =

= e,- e,- ...e,- = e,- e, ...e,- v0 = Ф(е, ve v... ve, ) v Ф(0).

,1 ,2     ,p     ,1 ,2     ,p         ,1     ,2 ,p

В алгебре Ln логическая сумма z = ek1 vek2 v... vekr     любых    ненулевых идей x = e ve, v...ve и y = e, ve, v...ve, может быть определена, согласно аксиомам идемпотентнос­ти, коммутативности и ассоциативности, следую­щим правилом: {ek1 vek2 v... vekr } = {e-1 vе-2 v...vep } и{е,1 v ej2 v... v є,}. Для получения логической суммы y по этому правилу нужно выбрать из стан­дартных форм обоих слагаемых x = е-1 vе,2 v...vet и y = е, vе, v...ve, все входящие в них базисные

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа