Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Предикат Р (речь идет об одноместных k -ич-ных предикатах первого порядка), принимающий для всех букв x є Ak нулевое значение P(x) = 0 , на­зовем тождественно ложным. Предикат P , прини­мающий для всех букв x є Ak единичное значение P(x) = 1, назовем тождественно истинным. Обоз­начаем эти предикаты соответственно символами 0 и 1. Предикат 0 имеет номер 0, предикат 1 — но­мер 2k -1. В табл. 1 в роли предиката 0 выступает предикат P0, а в роли предиката 1 — предикат P7.

Идею, соответствующую тождественно ложно­му предикату 0, будем называть ложью, обозначая ее тем же самым символом 0. Идею, соответствую­щую тождественно истинному предикату 1, будем называть истиной, обозначая ее символом 1. Таким образом:

Ф ч(0) = 0, (2)

 

Ф      = 1. (3)

Символом 1 обозначена операция обращения биекции Ф. Обратим внимание на омографич-ность знаков 0 и 1. В роли аргументов функции Ф 1 они обозначают предикаты, то есть элементы множества Mk, а в роли значений функции Ф 1 они обозначают идеи, то есть элементы множест­ва Sk. Это обстоятельство, однако, не будет при­водить к недоразумениям, поскольку истинный смысл знаков 0 и 1 легко определяется по контек­сту. Для примера, найдем по таблицам 2 и 3 идеи 0 и 1 в множествах S '3 и S "3. В обеих таблицах в роли предиката 0 выступает предикат P0, в роли предиката 1 — предикат P7. По табл. 2 находим Ф'4(P0) = s'0, Ф,A(P7) = s'7. Таким образом, для множества S '3 имеем 0 = s '0, 1 = s '7. По табл. 3 на­ходим Ф"-1(P0) = s"5, Ф,A(P7) = s\ . Таким образом, для множества S "3 имеем 0 = s "5, 1 = s "2. Выска­зывание, выражающее ложь, назовем противоречи­ем. Высказывание, выражающее истину, назовем тавтологией.

3. Предикат равенства идей

Рассмотрим предикат равенства Dk (P, Q) пре­дикатов P и Q, заданный на декартовом квадрате множества Mk всех одноместных k -ичных преди­катов первого порядка. Он определяется равенс­твом [1, с. 92]:

Dk(P, Q) = Vx(P(x)~Q(x)), (4)

справедливым для любых P, Q є Mk . Здесь выра­жение Vx означает квантор общности, который берется по переменной x є Ak . Символ - обозначает операцию эквивалентности логических констант [1, с. 91]. Предикат Dk ставит в соответствие рав­ным предикатам P и Q логическую константу 1, неравным — 0.

В табл. 4 в виде примера приведен предикат равенства предикатов D3 (P, Q), заданный на де­картовом квадрате множества M3 = {P0, P1,..., P7} всех троичных одноместных предикатов первого порядка.

Уравнение Dk (P, Q) = 1 задает отношение ра­венства P = Q предикатов P, Q є Mk . Отношение равенства предикатов можно рассматривать какдиагональное отношение, заданное на декартовом квадрате множества Mk, то есть как множество всех пар вида (P, P), где P є Mk. В нашем приме­ре отношением равенства предикатов служит мно­жество {(P0, P0), (P1, P1),..., (P7, P7)}. Уравнение Dk (P, Q) = 0 задает отношение неравенства P ф Q предикатов P и Q. Отношение неравенства пре­дикатов можно рассматривать как антидиагональ­ное отношение [9, с. 18], заданное на декартовом множестве Mk.


Таблица 4

Dk(P, Q)

Введем на множестве Sk х Sk предикат равенс­тва идей Dk, определяя его для любых x, y єSk следующим образом:

Dk(x, y) = Dk(Ф^), Ф(y)). (5)

Здесь Ф — биекция, отображающая множество Sk на множество Mk. Предикат Dk (x, y) отобра­жает множество Sk х Sk на множество 2 . Отправ­ляясь от определения (5) и используя отношения равенства и неравенства предикатов, предикат Dk можем представить в виде

D             [0, если Ф (x) ф Ф( y),

[1, если Ф(x) = Ф(y).

Под символами 0 и 1 понимаются логические константы. Очевидно, что при любом выборе биек-ции Ф зависимости (5) и (6) задают один и тот же предикат Dk. Для примера таблицами 5 и 6 заданы предикаты равенства идей D '3 и D "3, найденные по выражению (6) при Ф = Ф' и Ф = Ф". Здесь Ф' и Ф" — биекции, заданные таблицами 2 и 3. Преди­кат D '3(x', y') определен на множестве S '3 х S '3, а предикат D"3(x", y") — на множестве S"3хS"3.

Отношение равенства x = y идей x и y опре­деляем следующим образом: x = y в том и только в том случае, если Ф(x) = Ф(y). Можно сказать и иначе: отношение x = y задается уравнением Dk (x, y) = 1. Отношение неравенства идей x ф y имеет место в том и только в том случае, когда ) ф Ф(y). Иными словами, отношение хф у за­дается уравнением Dk(x, y) = 0. Таким образом, для любых x, y єSk можно записать:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа