Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 30

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

J1       J2 Jq

символы е, vе, v...vє, ,e, ve, v...ve,   и соста-

,1     ,2       ,p    J1     J2 Jq

вить из них стандартную форму z = ek1 v ek2 v... v ek , не допуская повторений базисных символов и располагая последние в порядке возрастания их номеров. Как мы знаем, аналогичное правило ис­пользуется и для образования логической суммы в алгебре Ln .

В силу сказанного имеем:

Ф((Є,1 v Є,2 v ... v ep ) v Л v ЄУ2 v ... v ejq )) = Ф(ek1 v ek2 v ... v % ) = ek1 ek2 .. .ekr = e,1 e,2.. .e,p v

ve, e, ...e, = Ф(е,- ve, v... ve, ) v

Ф(е- ve- v...ve- ).

J1     J2 Jq

Итак, при любых x,y єSn имеем: v y) =      ) v Ф(y).

Это означает, что любая алгебра идей Ln изо­морфна [5, с. 49] канонической алгебре идей Ln. Отсюда непосредственно следует, что все алгебры идей размерности n изоморфны друг другу. Теоре­ма доказана.

Смысл теоремы 3 сводится к тому, что ранее введенному понятию алгебры идей размерности n удовлетворяет единственный абстрактный матема­тический объект. Это означает, что все возможнос­ти алгебры идей размерности n отличаются друг от друга лишь используемыми в них обозначениями. По существу же, т.е. в абстрактном смысле, все та­кие алгебры неразличимы.

Объединяя теоремы о существовании и изо­морфизме алгебр идей, мы можем утверждать что алгебра идей каждой размерности n (n є {1,2,...}) су­ществует и единственна (с точностью до изомор­физма).

Рассмотрим некоторые из возможных интер­претаций алгебры идей размерности n .

а) Алгебра множеств. В качестве носителя Sn ал­гебры идей Ln при теоретико-множественной ин­терпретации берем систему Tn всех подмножеств множества Rn = {a1,a2,...,an} каких-нибудь симво­лов a1,a2,...,an. В роли элементов множества Sn выступают подмножества системы Tn. В роли нуле­вой идеи алгебры Ln берем пустое множество 0 . В роли базисных идей е1,е2,...,en в алгебре множеств берем одноэлементные множества {a1},{a2},...,{an}. Под элементом е-1 vе-2 v... vep в алгебре множеств понимается множество {a^a^,..^- }. Роль опера­ции дизъюнкции в алгебре множеств выполняет операция объединения множеств. Легко прове­рить, что все аксиомы алгебры идей Ln в алгебре множеств выполняются.

б) Алгебра двоичных наборов. В роли идей ал-
гебры при
двоично-кодовой интерпретации берем
n -компонентные наборы (a1,a2,...,an) двоичных
цифр
a1,a2,...,an. В роли носителя Sn алгебры Ln
в алгебре двоичных кодов принимаем n -ную дека-
ртову степень множества {0, 1}. Нулевой идеей ал-
гебры
Ln при такой интерпретации служит набор
(0,0,...,0), составленный из одних нулей. В роли
базисных идей используются всевозможные дво-
ичные наборы, в состав которых входит по одной

единице (1,0,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,0,0,...,1). Под

элементом е-1 vе2 v...vep в алгебре двоичных на­боров понимается набор, у которого на ,1,,2,...,,p -том местах стоят единицы, а на остальных местахнули. Дизъюнкция идей при двоично-кодовой ин­терпретации определяется как дизъюнкция двоич­ных наборов:

(a1,a2,...,an) v (e1,e2,...,en) = = (a1 vP1 v,a2 vP2,...,an vPn).

Нетрудно убедиться, что все аксиомы алгебры идей Ln в алгебре n -компонентных двоичных на­боров выполняются.

Между алгеброй множеств и алгеброй двоичных наборов существует взаимно однозначная связь. Пусть A — произвольно выбранный элемент ал­гебры множеств, а (a1,a2,...,an) — соответствую­щий ему элемент алгебры двоичных наборов. Тог­да: если ц є A , то осг = 1; если ц g A , то a, = 0 ; если осг = 1, то ц є A ; если осг = 0 , то ц g A (, є {1,2,...,n}). Например, элементу (a2,a3,a5) шестимерной ал­гебры множеств соответствует элемент (0,1,1,0,1,0) шестимерной алгебры двоичных наборов. Элемен­ту (1,0,0,0,1,1) алгебры двоичных наборов соот­ветствует элемент (a1,a5,a6) алгебры множеств.

в)  Алгебра одноместных предикатов перво-
го порядка [6, с. 10]. Идеями в
n -мерной алгебре
одноместных предикатов первого порядка служат
всевозможные предикаты
P(x), заданные на мно-
жестве
Rn = (a1,a2,...,an) букв a1,a2,...,an. Нулевой
идеей здесь служит тождественно ложный преди-
кат. В роли базисных идей используются предика-
ты узнавания букв
xa1,xa2,...,x"n, обращающиеся
в 1 соответственно при
x = a1,x = a2,...,x = an и в 0
— при остальных значениях переменной
x . Идеей
е-1
vе-2 v... vер в алгебре одноместных предикатов
первого порядка служит предикат
P(x), обращаю-
щийся в 1 при
x є {ц ,a-2 } и в 0 — при всех дру-
гих значениях переменной
x . Роль дизъюнкции
идей выполняет операция предикатов. Аксиомы
1) — 5) в алгебре одноместных предикатов первого
порядка выполняются. Всего имеется
2n одномес-
тных предикатов первого порядка.

Между алгеброй множеств и алгеброй двоичных наборов, с одной стороны, и алгеброй одномест­ных предикатов первого порядка, с другой, имеют место следующие связи. Пусть {ц ,a^,...,ц } — про­извольно выбранный элемент алгебры множеств. Ему взаимно однозначно соответствует элемент x-1,x-2,...,x,p алгебры одноместных предикатов первого порядка. Нулевому элементу 0 алгебры множеств соответствует тождественно ложный предикат 0. Элементу (a1,a2,...,an) алгебры дво­ичных наборов взаимно однозначно соответствует элемент a1 xa1,a2 xa2,...,an x"n алгебры одномес­тных предикатов.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа