Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 33

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

P1(x,y,z) = x0y0z0 vx0y1z1 v x1 y0z1 vx1 y1z1.

Используя только что полученную формулу для предиката P1, с помощью равенств (2) и (3) нахо­дим неявное задание операции дизъюнкции идей для двумерной алгебры чисел:

P2( x, y,z) = P1( x, y,z) v    x, y _ 21,z _ 21) v P,(x _ 21, y, z _ 21) v P1(x _ 21, y _ 21, z _ 21) = x0 y0 v x0 y1z1 v

x1 y0z1 v x1 y1z1 v x0(y _ 2)0 (z _ 2)0 v x0 (y _ 2)1 (z _ 2)1 v v x1 (y _ 2)1 (z _ 2)1 v (x _ 2)0 y 1(z _ 2)1 v (x _ 2)1 y 0(z _ 2)1 v

v(x_2)1 y1(z_2)1 v(x_2)0(y _2)0(z_2)0 v(x_2)0 л л( y _ 2)1 (z _ 2)1 v (x _ 2)1( y _ 2)0(z _ 2)1 v (x _ 2)1( y _ 2)1 л

л(y _ 2)1(z _ 2)1 =vx0 y0 z0 v x0 y1z1 v x1 y0 z1 v x1 y1z1 v

vx0 y2z2 v x0 y3z3 v x1 y 2z3 v x1 y3z3 v x2y0 z2 v x2y1z3

303       313       222       233       323 333

vx3 y z v x3y1z3 v x2y z2 v x2y z3 v x3 y2z3 v x3 y z .

Понятие алгебры идей ранее было определено для размерностей n = 1,2.... Случай нулевой раз­мерности, как вырожденный, не рассматривался. Однако, при математическом описании операции дизъюнкции идей в алгебре чисел, являющейся одним из вариантов алгебры идей, нам пришлось ввести никак не интерпретируемый предикат P0. Все остальные предикаты Pk (k = 1,2,...). были проинтерпретированы как операции дизъюнкции идей в алгебре чисел размерности k. Более ес­тественным было бы рассматривать предикат P0 в одном ряду с остальными предикатами P1,P2 и интерпретировать его как операцию дизъюнкции идей в алгебре чисел нулевой размерности. Таким образом, обнаруживается практическая необходи­мость введения алгебры идей нулевой размернос­ти. Ниже приведено определение такой алгебры. Оно получено из текста определения алгебры идей размерности n = 1,2,... подстановкой вместо сим­вола n числа 0.

Любую алгебраическую систему P0, которая состоит из множества S0, содержащего 20 =1 эле­мент, отношения равенства x = y и операции x v y (x,y,x v y є S0), назовем алгеброй идей нулевой раз­мерности, если для нее выполняются следующие условия:

1) для любого x єS0 x v x = x ;

2) для любых x, y єS0  x v y = y v x ;

3) для любых x,y,zєS0  (xvy)vz = xv(y vz);

4) в множестве S0 содержится элемент 0 такой, что для любого x єS0 0 v x = x;

5) из элемента 0 можно получить с помощью операции v любой элемент множества S0.

Приведенная формулировка определения ал­гебры идей нулевой размерности допускает су­щественное упрощение. В самом деле, на мно­жестве {0} можно определить лишь двуместную операцию. Она характеризуется равенством 0 v 0=0. Только эта операция может быть принята в роли дизъюнкции идей алгебры L0. Эта операция обладает свойствами идемпотентности (x v x =0 v 0=0= x ), коммутативности (x v y=0 v 0= y v x ), ассоциативности ((x v y ) v z =(0 v 0) v 0=0 v 0=0 v (0 v 0)= x v (y v z)) и нуля (0 v x =0 v 0=0 v x). Поэтому требования 1)—4) нет необходимости включать в определение алгебры идей нулевой раз­мерности. Требование 5) также вытекает из только что полученного прямого определения операции дизъюнкции идей, согласно которому 0=0 v 0. Та­ким образом, алгебру идей нулевой размерности можно определить просто как любое одноэлемен­тное множество с заданными на нем отношени­ями равенства и бинарной операцией. Ясно, что такая алгебра существует. Для построения формул алгебры L0 используется единственный образую­щий символ 0, базисные символы в алгебре идей нулевой размерности отсутствуют. Очевидно, что все алгебры идей нулевой размерности изоморфны друг другу. Таким образом, алгебра L0 единствен­на (с точностью до изоморфизма).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа