Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 34

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Отметим, что формулировку общего опреде­ления алгебры идей можно упростить и для од­номерного случая, однако это не удается сделатьстоль радикально, как при n =0. Любая двуместная операция, заданная на двухэлементном множес­тве S1 ={0, 1}, полностью определяется аксиома­ми идемпотентности, коммутативности и нуля. Действительно, по аксиоме нуля находим 0 v 0=0,

0 v 1=1. Из аксиомы коммутативности следует

1 v 0=0 v 1=1. Аксиома же идемпотентности дает 1 v 1=1. Мы пришли к операции дизъюнкции двоичных знаков, которая как известно, ассоци­ативна. Аксиома одномерности, очевидно, также выполняется. Таким образом, при n = 1 аксиомы ассоциативности и одномерности логически выво­димы из остальных аксиом, фигурирующих в опре­делении понятия алгебры идей произвольной раз­мерности. Следовательно, эти две аксиомы можно исключить из определения одномерной алгебры идей. Мы приходим к следующему определению. Одномерной алгеброй идей называем любую алгебра­ическую систему, состоящую из двухэлементного множества S1, отношения равенства x = y и опе­рации x v y (x,y,x v y є S1), если для нее при лю­бом x є S1 x v x = x, 0 v x = x и при любых x, y є S1 x v y = y v x.

Оказывается, что аксиомы идемпотентности, коммутативности и нуля, фигурирующие в только что сформулированном определении, логически не зависят друг от друга. Докажем это. Прини­маем S1 ={0, 1}. Определим операцию дизъюнк­ции идей как неравнозначность двоичных знаков x v y = x © y. Такая операция не удовлетворяет ак­сиоме идемпотентности (1 © 1=0), но подчиняется аксиоме коммутативности (x © y = y © x) и аксио­ме нуля (0 © x = x). Далее, определяя операцию ди­зъюнкции идей как функцию x v y = y , видим, что она некоммутативна (0 v 1=1, 1 v 0=0), но идемпо-тентна (x v x = x) и удовлетворяет аксиоме нуля (0 v y = y). Наконец, принимая в роли операции дизъюнкции идей конъюнкцию двоичных знаков x v y = xy , находим, что она идемпотентна (xx = x) и коммутативна (xy = yx ), но не подчиняется ак­сиоме нуля (0 -1 = 0). Итак, мы доказали независи­мость аксиом идемпотентности, коммутативности и нуля друг от друга. Поэтому ни одна из этих ак­сиом не может быть исключена из приведенного выше определения одномерной алгебры идей.

В двумерном случае ни одну из пяти аксиом невозможно исключить из определения алгебры идей. Нельзя обойтись в определении двумерной алгебры идей и без требования четырехэлемент-ности множества S2. Докажем это. Для доказа­тельства независимости аксиомы ассоциативности определим операцию дизъюнкции идей табл. 2. Для нее аксиома ассоциативности не выполня­ется, поскольку (1 v 2) v 2=3 v 2=0, но 1 v (2 v 2)= = 1 v 2=3. Вместе с тем, аксиомы идемпотентности, коммутативности и нуля, как явствует из табл. 2, выполняются.


Таблица 2

Выберем в качестве базисных идей элементы 1 и 2. Так как 1 v 2=3, то аксиома двухмерности выполняется. Множество S2 четырехэлементно. Итак, аксиома ассоциативности невыводима из остальных свойств двумерной алгебры идей.

Для доказательства независимости аксиомы двумерности принимаем в роли операции дизъюн­кции идей дизъюнкцию четырехзначной логики x v y = max(x, y). Как известно, она коммутативна, ассоциативна и идемпотентна. Для нее выполняет­ся и аксиома нуля. Множество S2 четырехэлемент­но. Однако, аксиома двумерности не выполняется. Это обусловлено тем фактором, что в каждой дизъ­юнкции четырехзначной логики a = x v y, выража­ющей произвольно выбранный элемент a є S2, хотя бы одно из слагаемых x или y обязательно долж­но совпадать с элементом a. Например, элемент 3 можно представить только следующими дизъюн­кциями четырехзначной логики: 3=0 v 3=3 v 0= = 1 v 3=3 v 1=2 v 3 =3 v 2=3 v 3. В каждой из этих дизъюнкций обязательно присутствует элемент 3. Таким образом, в данном случае существует единс­твенный базис {1, 2, 3}, число элементов которого не совпадает с числом 2, как того требует аксиома двумерности.

Четырехэлементность носителя S2 двумерной алгебры идей не вытекает из совокупности всех ос­тальных свойств этой алгебры. Чтобы доказать это утверждение, определим операцию дизъюнкции идей табл. 3.


Таблица 3

Нетрудно убедиться в том, что все пять аксиом в данном случае выполняются, однако число элемен­тов в множестве S2 не равно четырем. Независи­мость аксиом идемпотентности, коммутативности и нуля непосредственно вытекает из их независи­мости в одномерной алгебре идей. Итак, мы дока­зали, что при n =2 все шесть рассмотренных выше условий независимы друг от друга, и поэтому их число не может быть уменьшено в рассматривае­мом определении алгебры идей. Полученный ре­зультат непосредственно распространяется на лю­бые алгебры идей произвольной размерности n >2. Отметим, что формулировка аксиомы n -мерности допускает некоторое упрощение, а именно, из нее можно исключить требование попарного различия образующих идей 0, e1,e2,...,en. Дело в том, что, со­гласно теореме о стандартной форме, число всех идей в множестве Sn не может превысить вели­чины 2', где t — число всех различных ненулевых базисных идей. Если бы некоторые из базисных идей, фигурирующих в определении n -мерной алгебры идей совпали друг с другом или с нулем, то оказалось бы, что t < n. Но этот вывод проти­воречит требованию 2' -элементности множества Sn. Таким образом, условие попарного различия образующих идей вытекает из совокупности всех остальных свойств, присутствующих в определе­нии n -мерной алгебры идей. С учетом сказанного аксиома n -мерности может быть записана в следу­ющей более простой формулировке: "В множестве Sn содержатся такие элементы e1,e2,...,en, что из них и из элемента 0 можно с помощью операции v получить любой элемент множества Sn ".

Опишем на языке алгебры конечных предика­тов в форме неявного задания операцию k -знач­ной дизъюнкции (k =1,2,...). С этой целью введем предикат Qk (x), задающий область определения k -значных переменных {0,1,..., k-1}. Предикат Qk+1 выражается через предикат Qk следующим образом:

Qk+1(x) = Qk (x) v x v k . (4)

Полагаем, что

Q1( x) = x0. (5) Введем, кроме того, предикат Rk(x,y,z), соответс­твующий отношению x v y = z. Символ v обозна-

kk

чает операцию k -значной дизъюнкции: x vy = z

Предикат Rk+1 выражается через предикат Rk (x, y, z) следующим образом:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа