Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 35

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Rk+1(x, y,z) = Rk (x, y, z)Qk+1(x)ykzk v v xkQk+1( y )zk.

Полагаем, что

Rl( x, y,z) = x0 y0 z0. (7)

Сравнивая между собой формулы (1) и (2), опи­сывающие операцию идей для алгебры чисел, с формулами (4)-(7), описывающими операцию ди­зъюнкции чисел для многозначной логики, мы об­наруживаем, что эти операции сильно отличаются друг от друга по своему строению. Этот факт свиде­тельствует о существенном отличии алгебры идей от любой алгебры многозначной логики, в кото­рой дизъюнкция используется в роли базисной операции (например, алгебра Россера-Тьюкетта, алгебра Поста). И, несмотря на то, что операция многозначной дизъюнкции подчиняется аксио­мам идемпотентности, коммутативности и ассо­циативности, следовательно, любая такая алгебра многозначной логики, так же как и алгебра идей, относится к коммутативным полугруппам идемпо-тентов.

На самом деле степень родства между этими двумя алгебрами еще большая, поскольку и дизъ­юнкция алгебры идей и дизъюнкция многознач­ной логики подчиняются также и аксиоме нуля. Кроме того, в обеих алгебрах имеется система об­разующих элементов. Единственное "маленькое" отличие между алгебрами состоит в том, что базис алгебры идей минимален по числу составляющих его элементов, чего не скажешь о базисе алгебры, основанной на операции многозначной дизъюнк­ции. Так, при общем числе элементов, равном 2n, базис алгебры идей состоит из n элементов, а базис многозначной логики — из 2n -1 элементов. Мини­мальность базиса алгебры идей непосредственно следует из того ранее доказанного факта, что по­парное различие образующих элементов вытекает из совокупности всех остальных свойств, заклю­ченных в определении алгебры идей. Достаточно было бы изъять из аксиомы n -мерности ограниче­ние на число базисных элементов, и любая алгеб­ра 2n -значной логики с операцией дизъюнкции подошла бы под определение n -мерной алгебры идей.

2. Частичный порядок в алгебре идей

Пусть Ln — произвольно выбранная алгебра идей размерности n, заданная на носителе Sn, для которой определена операция дизъюнкции идей v . Введем на множестве Sn бинарное отношение < , определив его следующим условием: для любых x, y єSn утверждение x < y равносильно равенству x v y = y . Докажем, что отношение < есть частич­ный порядок [4, с.30]. По аксиоме идемпотентности для любого x єSn имеем x v x = x. Это означает, что x < y , т.е. отношение < рефлексивно. Пред­положим, что x,y,z єSn таковы, что x < y и y < z . Это означает, что x v y = y и y v z = z. Соглас­но аксиоме ассоциативности x v z = x v (y v z) = =(x v y) v z = y v z = z, откуда x v z = z. Мы получи­ли, что x < z. Таким образом, отношение < тран­зитивно. Пусть x,y єSk таковы, что x < y и y < x . Это означает, что x v y = y и y v x = x . Пользуясь законом коммутативности, получаем x = y v x = x v y = y . Мы вывели равенство x = y , а это озна­чает, что отношение < антисимметрично. Итак, мы доказали, что отношение < удовлетворяет всем свойствам, определяющим отношение частичного порядка.

Для примера построим отношение частичного порядка < на множестве S3 в канонической алгеб­ре идей L3. Множество S3 состоит из восьми идей 0, e1, e2, e1e2, e3, e1e3, e2e3, e1e2e3. По таблице 4 находим: 0 v e1 = e1, e1 v 0 ф 0, следовательно 0 < e1, e1 X 0. Испытывая таким способом всевозможные пары идей, приходим к следующему отношению частичного порядка < на множестве S3: {(0, 0), (0, e1), (0, e2), (0, e1e2), (0, e3), (0, e1e3), (0, e2e3), (0, e1e2e3), (e , e1), (e1 , e1e2), (e1 , e1e3), (e , e1e2e3),

e2 , e1e2

), (

e2 , e2e3

), (

e2 , e1e2e3 ), ( e^!, e1e2), ( e1 e2 , e1 e2 e3 ),( e3 , e3 ),( e3 , e1 e3 ),( e3 , e2 e3 ),( e3 , e1 e2 e3 ),

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа