Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 38

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Tk (x, y) = Pk (x, y, y). (8)

Из равенства (8) и равенства (1) выводим:

T0(x, y) = x0 y0. (9)

Из равенства (2) и равенства (8) получаем:

Tk+1(x, y) =Pk+1( x, y, y) =Pk (x, y, y) v

vPk (x, y _ 2k, y _ 2k) v Pk (x _ 2k, y, y _ 2k) v

vPk (x _ 2k, y _ 2k, y _ 2k).

Числа y и y _ 2k никогда вместе не принадлежат множеству Sk, поэтому при любом значении пе­ременной y

Pk (x _ 2k, y, y _ 2k) = 0.

Сказанное приводит к следующему окончательному выражению для предиката Tk+1:

Tk+1(x, y) = Tk (x, y) vTk (x, y _ 2k) v

vTk (x _ 2k, y _ 2k).

В качестве примера найдем с помощью зависи­мостей (9) и (10) формулы, задающие отношение x < y для одномерной и двумерной алгебр чисел. Принимая k =0, находим

71 (x, y) = T0 (x, y) v T0(x, y _ 20) v ^(x _ 20, y _ 20) =

= x0 y0 v x0 (y _ 1) v (x _ 1)0 (y _ 1)0.

Пользуясь зависимостью (3), получаем оконча­тельное выражение, задающее в неявном виде от­ношение x < y в одномерной алгебре чисел:

T1(x, y) = x0 y0 v x0 y1 v x0 y1.

Полагая k =1 и рассуждая аналогично, прихо­дим к следующей формуле, задающей отношение "меньше или равно" для двумерной алгебры чи­сел:

T2(x, y) = x0 y0 v x0y1 v x0 y2 v x0y3 v x1 y1 v

1   3       2  2       2  3       3 3

xy v x y v        v x y .

Заметим, что отношению < , введенное в алгеб­ре чисел, не совпадает с одноименным отношени­ем, используемым в арифметике натуральных чи­сел. В самом деле, в арифметике утверждение 1 < 2 является истинным высказыванием, а в логичес­кой алгебре чисел это утверждение, как явствует из только что записанной формулы, ложно.

Согласнозаконунуля длялюбого x eSn 0 v x = x, следовательно 0 < x . Таким образом, идея 0 в мно­жестве Sn наименьшая. В любой алгебре идей Ln при n = 1, 2,... можно ввести единичную идею или единицу, обозначаемую символом 1, стандартная форма которой, по определению, содержит все ба­зисные символы:

1 = e1 ve2 v... ven. (11)

В алгебре идей нулевой размерности L0 еди­ничная идея не существует, ввиду отсутствия в множестве S0 базисных идей. Для любого x є Sn (n =1, 2, ....) выполняется равенство

x v 1 = 1, (12)

называемое законом единицы. Действительно, если x =0, то, согласно аксиоме нуля, 0 v 1 = 1. Если же x — ненулевая идея, то она может быть представ­лена в форме x = е^ v£2 v...vep , где pє{1, 2,.., n }. Используя аксиомы идемпотентности, коммута­тивности и ассоциативности, а также определение единичной идеи (11), получаем:

x v 1 =e, ve, v... ve, ve1 ve2 v...ven =

'1     '2         'p     1     2 n

= e1 v e2 v ... v en =1.

Равенство (12) означает, что x < 1 при любом xєSn (n =1, 2, ....). Таким образом, единичная идея в множестве Sn наибольшая. Поскольку 0 ф 1, то 0 < 1.

Заметим, что из аксиом нуля и коммутативнос­ти вытекает единственность нулевой идеи. Дейс­твительно, предположим, что существуют идеи 01 и 02, удовлетворяющие аксиоме нуля: 01 v x = x и 02 v y = y. Полагая x = 02 и y = 01, в^іводим равенс­тво идей 01 и 02: 01 = 02 v 01 = 01 v 02 = 02. Из зако­на единицы и аксиомы коммутативности вытекает единственность единичной идеи. Действительно, предположим, что существуют идеи 11 и 12, удов­летворяющие закону единицы, x v 11 = 11, y v 12 = 12. Полагая x = 12 и y = 11, выводим равенство идей11 и 12: 11 = 12 v 11 = 11 v 12 = 12. Сказанное позволяет нуль алгебры идей Ln однозначно определить как любую идею x єSn (n =0, 1, 2, ....), удовлетворяю­щую условию: "для всех x єSn a v x = x ". Единицу алгебры идей Ln можно однозначно определить как любую идею b єSn (n = 1, 2, ....), удовлетворя­ющую условию: "для всех x єSn x v b = b ".

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа