Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 39

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Представление идеи z в виде дизъюнкции z = x v y идей x и y в случае, когда x ф z и y ф z, назовем разложением идеи z на идеи x и y . Идеи x и y назовем членами разложения идеи z. Дока­жем, что в разложении z = x v y всегда x < z и y < z . Согласно аксиомам ассоциативности и идемпотен­тности x v z = x v (x v y) = (x v x) v y = x v y = z , откуда x v z = z, т.е. x < z . Т.к. x ф z , то x < z . Пользуясь аксиомами коммутативности, ассоци­ативности и идемпотентности, получаем: y v z = = y v (x v y) = (x v y) v y = x v (y v y) = x v y = z , откуда следует yvz=z, т.е. y < z. Поскольку y ф z, то y < z. Докажем, далее, что идеи x и y в разложении z = x v y всегда различны. Для этого предположим, что x = y , тогда, согласно аксиоме идемпотентности, z = x v y =x vx=x , что невоз­можно, следовательно, x ф y . Наконец, докажем, что каждый из членов x и y разложения z = x v y всегда ненулевой. Действительно, пусть x = 0 , тог­да, согласно аксиоме нуля, z = x v y = 0 v y=y . Но y ф z, поэтому x = 0 . Аналогично доказывается, что у ф 0 .

Любую идею z алгебры Ln (n =0, 1, 2, ...), ко­торую можно разложить в сумму z = x v y , назовем разложимой, остальные идеи назовем неразложи­мыми. Установим, какие именно идеи разложимы, а какие — нет. Нулевая идея неразложима. Действи­тельно, если предположить, что нулевая идея имеет разложение 0 = x v y, то окажется, что x < 0 и y < 0 . Но это невозможно, поскольку нулевая идея — наименьшая в множестве Sn. Идеи е1,е2,...,en не­разложимы. В самом деле, собственной частью стандартных форм идей е1,е2,...,en является лишь стандартная форма нулевой идеи. Значит, идеи е1, е2,..., en — это наименьшие ненулевые идеи мно -жества Sn. Предположим, что существует разло­жение z = x vy какой-нибудь из идей е1,е2,...,en. Отсюда вытекает, что x ф 0 и x < z. Последнее же невозможно. Все остальные идеи множества Sn разложимы. Действительно, любая такая идея может быть представлена стандартной формой е;1 vЄ'2 v... ve, , в которой имеется, по крайней мере, два слагаемых (p > 2).

Согласно приведенному ранее определению, базисом алгебры идей Sn может служить любое подмножество Sn множества Sn, удовлетворяю­щее следующим условиям: а) множество Sn состо­ит из n идей; б) нулевая идея не содержится в мно­жестве Sn; в) из нулевой идеи и из идей множества Sn можно с помощью операции дизъюнкции идей получить любую идею множества Sn. Множество {е1,е2,..., en} является базисом, поскольку оно удов­летворяет условиям а) - в). Других базисов в алгеб­ре идей Sn не существует. Действительно, ни один базис не может обойтись без всех наименьших не­нулевых идей множества Sn, так как каждую из этих идей невозможно представить в виде логичес­кой суммы отличных от нее идей, а это ведет к не­выполнению условия в). Добавление каких-либо иных идей в множество всех наименьших нену­левых идей недопустимо, поскольку число идей в множестве, полученном таким способом, превы­сит величину n, а это, в свою очередь, приведет к невыполнению условия а). Итак, в алгебре идей Ln существует единственный базис, и им являет­ся множество Ln ={e1,e2,...,en} всех наименьших ненулевых идей е1,е2,...,en множества Ln. Отсюда непосредственно следует, что в множестве Ln со­держится всего n наименьших ненулевых идей.

Рассмотрим условие: "Для всех x,y єSn из x v y = c следует x = y = c " (*). Условию (*) удовлет­воряет единственный элемент множества Ln c = 0 . Действительно, вектор c = 0 условию (*) удовлетво­ряет: если x v y = 0, то с необходимостью x = у = 0 , иначе оказалось бы, что x < 0 или y < 0 , что невоз­можно. Пусть c — любой ненулевой элемент мно­жества Ln. Согласно аксиоме нуля, 0 v c = c. Таким образом, имеет место случай, когда x v y = c , но x ф c, что противоречит условию (*). Итак, мы до­казали, что все ненулевые векторы множества Ln не подчиняются условию (*). Сказанное позволяет принять условие (*) в качестве еще одного опреде­ления нулевого вектора алгебры Ln: нулевым век­тором логической алгебры Ln назовем любой элемент c єSn удовлетворяющий условию (*).

Из этого определения следует, что нулевой век­тор встречается в таблице операции сложения лю­бой логической алгебры Ln (n =0, 1, 2, ...) только один раз. Любой же иной вектор x єSn встречается в этой таблице более одного раза, поскольку, со­гласно аксиомам нуля и идемпотентности, 0 v x = x и 0 v x = x. Пользуясь этим признаком, всегда мож­но распознать нулевой вектор среди всех векторов при любом способе их обозначения и расположе­ния. В качестве примера найдем нулевой вектор с помощью табл. 5, задающей операцию сложения в одной из трехмерных логических алгебр.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа