Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 50

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Теория интеллекта как формальное учение строится следующим образом. Имеется универ­сум элементов U, в роли которого используется совокупность всевозможных стимулов, которые исследователь может предъявить испытуемому. Из элементов универсума U исследователь образует множества A j х A2 j х... х Anj, сообразуясь с постав­ленной конкретной задачей изучения той или иной стороны интеллекта человека. На декартовых про­изведениях A j х A2 j х... х Anj определены предика­ты Pj, которые интерпретируются как поведение испытуемого, выполняющего те или иные задания исследователя.

Вводя предикатные переменные X1,X2,...,Xr, связываем их логическими уравнениями (1). Со­держательно эти уравнения выступают в роли ис­ходных постулатов теории интеллекта. Из них, как из аксиом, дедуктивно выводятся зависимости, характеризующие внутреннюю структуру элемен­тов универсума U и предикатов Р1,Р2,..,РГ. Зада­чей теории интеллекта как содержательного уче­ния является формулировка и экспериментальная проверка ее постулатов, в роли которых выступают уравнения (1).

2. Множества

Изложенную выше программу исследований невозможно выполнить без достаточно развитого математического языка. Прежде всего, необходим формальный язык, на котором можно было бы за­писывать предикаты, реализуемые испытуемым в экспериментах. Далее, надо располагать языком для записи уравнений, выражающих свойства этих предикатов. Кроме того, необходимо иметь фор­мальные средства для описания внутренней струк­туры стимулов, предъявляемых испытуемому, и состояний, переживаемых им, а также внутренней структуры предикатов, реализуемых испытуемым. Наконец, необходимо располагать математичес­кими средствами извлечения из свойств предика­тов их внутренней структуры. Фундаментом для разработки искомого формального языка служат понятия множества и отношения, которые рас­сматриваются в этом и следующем параграфах.

Пусть a1,a2,^.,ak — различные предметы. Их со­вокупность называется множеством. Множества обычно будем обозначать заглавными латинскими буквами. Предметы a1,a2,...,ak, входящие в составмножества, называются его элементами. Элементы, как правило, будут обозначаться нами строчными латинскими буквами. Множества могут отличать­ся друг от друга числом k и составом входящих в них элементов a1,a2,...,ak. Для записи множества будем использовать перечень всех его элементов, заключенный! в фигурные скобки: |a1,a2,^,ak}. Множества можно строить не только из элементов, но и из множеств, например ||a1},|a1,a2}}. Такие множества называются системами множеств.

Элементы в множестве неупорядочены, поэ­тому порядок перечисления элементов в записи множества не имеет значения. В записи множества допускается повторение одних и тех же элементов, однако от этого само множество не меняется, пос­кольку в нем нет одинаковых элементов. Если сим­волы a и b обозначают один и тот же элемент, то говорят, что элементы a и b равны и пишут a = b . В противном случае пишут a ф b . Если множества A и B состоят из одних и тех же элементов, то го­ворят, что они равны, и пишут A = B. Если ложно, что A = B, то пишут A ф B.

Только что рассмотренные множества называ­ются конечными. Число элементов в них может приниматьлюбоенатуральноезначение k = 0,1,2,.... При k = 0 получаем пустое множество 0 , не со­держащее ни одного элемента. При k = 1 получаем одноэлементные множества. Можно также рас­сматривать бесконечные множества, для которых значение k не существует. Примерами бесконеч­ных множеств могут служить счетное множество, составленное из всех натуральных чисел, и кон­тинуальное множество всех вещественных чисел. Мощность континуального множества больше мощности счетного множества. Существуют мно­жества, мощность которых превышает мощность континуума, например, множество всех вещест­венных функций.

Для бесконечного множества роль числа его элементов выполняет мощность множества. Два множества A и B называются равномощными, если каждому элементу множества A можно пос­тавить в соответствие свой элемент множества B и наоборот. Под мощностью конечного множест­ва понимается число его элементов. Совокупность всех предметов, являющихся элементами всевоз­можных множеств, которые рассматриваются в конкретной задаче (рассуждении, исследовании, теории), называется универсальным множеством или универсумом этой задачи и обозначается сим­волом U . Можно объединять в одном универсуме вместе с элементами также и множества, образо­ванные из этих элементов. Полагают, что в таком универсуме множества отличаются от элементов, в частности a ф {a}.

Если элемент a входит в состав множества A, то говорят, что a принадлежит A и пишут a є A .

Запись aєA или a g A означает, что элемент a не принадлежит множеству A. Запись a1,a1,..,an є A означает, что a1 є A,a2 є A,...,an є A . В роли эле­ментов множества можно использовать любые элементы универсума U . Каждый элемент любого множества, рассматриваемого в какой-либо зада­че, должен быть элементом универсума этой зада­чи. Отношение є называется принадлежностью элемента множеству.

Отношения принадлежности элемента множес­тву и равенства элементов связаны законом Лейб­ница: для всех a и b a = b в том и только в том слу­чае, когда a є A равносильно b є A при любом A . Отношения принадлежности элемента множеству и равенства множеств связаны законом объемнос­ти или экстенсиональности: для всех A и B A = B в том и только том случае, когда a є A равносильно a є B при любом a .

Множество A называется подмножеством или частью множества B, а множество B — надмно­жеством множества A, если каждый элемент мно­жества A принадлежит также и множеству B. В этом случае говорят, что множество A включено в множество B и пишут A с B . В роли множеств элементов можно использовать любые подмно­жества универсума U. Каждое множество, рас­сматриваемое в какой-либо задаче, должно быть подмножеством универсума этой задачи: A с U (2) для любого A. Каждый элемент, фигурирующий в задаче, должен принадлежать универсуму этой за­дачи:

a єU (3)

для любого a.

Пустое множество является подмножеством любого множества:

0 с A (4)

для любого A.

Отношение с называется включением мно­жеств. Оно рефлексивно:

A с A (5)

для любого A; антисимметрично: A с B и B с A равносильно A = B для любых A и B; транзитивно: A с B и B с C влечет A с C для любых A , B , C . Если A с B и A ф B, то A называют собственным подмножеством или правильной частью множес­тва B и пишут A с B . Отношение с называется строгим включением множеств. Множества 0 и A называются несобственными подмножествами множества A, все другие подмножества множества A — его собственными подмножествами.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа