Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 52

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

 

a + a = a ,

(30)

a a = a ,

(31)

a + b = b + a,

(32)

a b = b a ,

(33)

(a + b) + c = a + (b + c),

(34)

(a b)^ c = a ■(b c),

(35)

(a + b )■ c = (a c ) + (b c),

(36)

(a b) + c = (a + c)^(b + c),

(37)

a + (a b) = a ,

(38)

a ■(a + b) = a ,

(39)

a + 0 = a ,

(40)

a Л = a ,

(41)

a +1 = 1,

(42)

a 0 = 0 ,

(43)

(a') = a ,

(44)

(a + b) = a' ■ b',

(45)

(a b) = a' + b ,

(46)

a + a' = 1,

(47)

a a' = 0 ,

(48)

0 = 1,

(49)

1 = 0

(50)

называется булевой алгеброй. Соотношения (30) — (50) называются основными тождествами булевой алгебры.Не все основные тождества булевой алгебры не­зависимы друг от друга. Часть из них можно вывес­ти из совокупности остальных. Так, из тождеств

a + a = a, a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c), (a +    c = (a c) + (b c), (51)

(a ) = a,

(a + b) = a' b, a + (b b ) = a.

выводятся все остальные основные тождества бу­левой алгебры. Тождество (51), отсутствующее в перечне основных тождеств булевой алгебры, вы­текает из тождеств a + 0 = a и a a' = 0. Только что приведенные семь тождеств (30), (32), (34), (36), (44), (46) и (51) логически независимы друг от друга, они называются аксиомами булевой алгебры. Любое не­пустое множество М, на котором заданы операции + , и ', починяющиеся этим аксиомам, является булевой алгеброй. Из аксиом булевой алгебры сле­дует существование и единственность нуля 0 = a a' и единицы 1 = a + a'.

Если в роли 0 принять множество 0 , в роли 1 — множество U , в роли операций + , , ' — со­ответственно операции u, n, над множества­ми множества U , то булева алгебра превратится в одну из ее разновидностей — алгебру множеств. Операции u, n, называют булевыми операци­ями над множествами. Аксиомы булевой алгебры теперь выполняют роль аксиом алгебры множеств, которые записываются в виде тождеств:

Au A = Bu A , (auB)uC = Au(BuC),

[AuB)nC = (AnC)u(BnC), A = A,

AuB = AnB , Au(BnB) = A (52).

3. Отношения

Любая упорядоченная совокупность каких-либо элементов a1,a2,...,an называется набором, кортежем или последовательностью. Элементы, образующие набор, называются его компонента­ми. Каждый компонент в наборе характеризуется своим местом, так что перемена местами различ­ных элементов в наборе ведет к изменению всего набора. Наборы могут отличаться друг от друга чис­лом компонентов n, а также составом или поряд­ком расположения элементов в наборе. Для записи набора используется перечень всех его компонен­тов, заключенный в круглые скобки: (al,a2,^.,an). Наборы будем обозначать строчными латинскими буквами, например, a = (ax,a2,^.,an).

Места компонентов в наборе нумеруют слева направо. На разных местах в наборе могут сто­ять как различные, так и одинаковые элементы. Однокомпонентный набор называется унарным, двухкомпонентный бинарным, трехкомпонент-ный — тернарным, n -компонентный — n -арным. Число компонентов в наборе называется его ар­ностью. Бинарный набор называется упорядо­ченной парой или просто парой. Любой унарный набор (a) совпадает с элементом a. Если символы a и b обозначают один и тот же набор, то гово­рят, что наборы a и b равны и пишут a = b . Два набора a = (al,a2,^.,am),b = (b\,b2,...,bn) равны в том и только том случае, если m = n и a{ = b при всех i є {1,2,...,m}. Наборы можно строить не только из элементов, но и из наборов по правилу

((a1,a2v,am ),(b1,b2vA )) = (52)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа