Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 54
Можно говорить о принадлежности набора отношению, равенстве и включении отношений на A , а также об их объединения, пересечении и дополнении. Таким образом, на множестве всех отношений задана алгебра, являющаяся разновидностью булевой алгебры. Объединение отношений называют их дизъюнкцией, пересечение — конъюнкцией, дополнение — отрицанием отношения. Можно говорить о декартовом произведения P xQ отношений P и Q. Утверждение (a1,a2,...,am)єP и (b1,b2,...,bm) єQ равносильно утверждению (a1,a2,...,am ,b1,b2,..,bn) єP xQ при любых a1 є \,a2 є A2,..,am є Am , blЄBl,b2 єB2,...,bn єBn, Pс A , Q с B , где A = A x A2...x Am и B = B xB2 x...xBn.
Если набор принадлежит отношению P , то он называется веткором отношения P . Для бинарных отношений, кроме записи (a,b) є P, употребляется равносильная ей запись U . Если (a,b) gP , то пишут U . Бинарное отношение U , составленное из всех пар вида (a, a), где a єU , называется равенством или диагональным отношением, заданным на универсуме U . Для обозначения отношения D используется также символ = . Пары вида (a,a) называются диагональными. Отношение равенства рефлексивно: a = a (59) для любого a; симметрично: a = b влечет b = a для любых a, b ; транзитивно: a = b и b = c влечет a = c для любых a , b , c . Отношение равенства можно задать не только на универсуме U , но и на любом его подмножестве A . В этом случае говорят о равенстве на A .
Отношение F , заданное на A x B , называется функциональным, если оно удовлетворяет условию однозначности: для любых a є A и b,c єB aFb и aFc влечет b = c . Говорят, что функциональное отношение F , заданное на A x B , определяет соответствующую ему функцию или операцию f , действующую из множества A в множество B. Функции будем обозначать строчными латинскими или греческими буквами. Если для a є A найдется элемент b єB такой, что aFb, то функция f ставит в соответствие элементу a единственный элемент b. Этот факт записывают следующим образом: b = f (a) или b = fa . Если же для a є A не существует элемента b єB такого, что aFb, то функция f не ставит в соответствие элементу a никакого элемента из множества B. В этом случае говорят, что функция f для элемента a є A не определена.
Функцию f можно определить, указывая соответствующее ей отношение F . Чтобы определение функции было логически безупречным (корректным), нужно доказать, что отношение F подчиняется условию однозначности. Такое доказательство называется проверкой корректности определения функции f . Отношение равенства D на A определяет функцию d , называемую тождественной. Она характеризуется свойством:
a = d (a) (60)
для всех a є A .
Если b = f (a), то элемент b єB называется образом элемента a є A , а элемент a — прообразом элемента b относительно функции f. Совокупность всех прообразов элемента b относительно функции f , содержащихся в множестве A, называется полным прообразом элемента b в A относительно функции f. Множество A называется областью отправления функции f, множество B — ее областью прибытия. Множество всех элементе a є A , для каждого из которых существует элемент b єB , удовлетворяющий условию b = f (a), называется областью определения функции f. Множество всех элементов b єB , для каждого из которых существует элемент a є A , удовлетворяющий условию b = f (a), называется областью значений функции f. Если область отправления функции f представляет собой декартово произведение A = A x A2 x...x An, то говорят, что функция f n -местна.
Похожие статьи
Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии
Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие
Автор неизвестен - Беседы на шестоднев
Автор неизвестен - Божественность христа